factoriza 142x^2-228x-112 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

142 x^{2} - 228 x - 112

Extraemos

2

, el máximo común divisor de los coeficientes:

142 x^{2} - 228 x - 112

2 \cdot (71 x^{2} - 114 x - 56)

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 71

b = -114

c = -56

Δ = {(-114)}^{2} - 4 \cdot 71 \cdot (-56)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-114)}^{2}

(-114) \cdot (-114)

12 996

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 71

4 \cdot (70 + 1)

4 \cdot 70 + 4

280 + 4

284

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 284 \cdot (-56)

284 \cdot 56

Δ = 12 996 + 284 \cdot 56

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

284 \cdot 56

284 \cdot (50 + 6)

284 \cdot 50 + 284 \cdot 6

14 200 + 1704

15 904

Δ = 12 996 + 15 904

ⓘ Partimos de

12 996

y avanzamos

15 904

en la recta numérica:

12 996 + 15 904

28 900

Δ = 28 900

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-114) - \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

x_{1} = \frac{114 - \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{28 900}

170

ya que

170^{2}

28 900

ⅰ

2 \cdot 71

2 \cdot (70 + 1)

2 \cdot 70 + 2

140 + 2

142

x_{1} = \frac{114 - 170}{142}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

114 - 170

-56

x_{1} = - \frac{56}{142}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{56}{142}

- \frac{28 \cdot 2}{71 \cdot 2}

- \frac{28}{71}

x_{1} = - \frac{28}{71}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-114) + \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

x_{2} = \frac{114 + \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{28 900}

170

ya que

170^{2}

28 900

ⅰ

2 \cdot 71

2 \cdot (70 + 1)

2 \cdot 70 + 2

140 + 2

142

x_{2} = \frac{114 + 170}{142}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

114 + 170

284

x_{2} = \frac{284}{142}

Simplificamos la fracción

\frac{284}{142}

por el factor común

142

para obtener la nueva expresión:

2

x_{2} = 2

Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

71 \cdot (x - 2) \cdot (x + \frac{28}{71})

(x - 2) \cdot (71 x + 28)

Factores encontrados:

(x - 2) \cdot (71 x + 28)

▶Expresión factorizada:

2 \cdot (x - 2) \cdot (71 x + 28)