factoriza 15x^2-17x-42 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

15 x^{2} - 17 x - 42

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 15

b = -17

c = -42

Δ = {(-17)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (-42)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-17)}^{2}

(-17) \cdot (-17)

289

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 60 \cdot (-42)

60 \cdot 42

Δ = 289 + 60 \cdot 42

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

60 \cdot 42

60 \cdot (40 + 2)

60 \cdot 40 + 60 \cdot 2

2400 + 120

2520

Δ = 289 + 2520

ⓘ Partimos de

289

y avanzamos

2520

en la recta numérica:

289 + 2520

2809

Δ = 2809

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-17) - \sqrt{2809}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{17 - \sqrt{2809}}{2 \cdot 15}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{2809}

53

ya que

53^{2}

2809

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = \frac{17 - 53}{30}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

17 - 53

-36

x_{1} = - \frac{36}{30}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

- \frac{36}{30}

- \frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 6}

- \frac{6}{5}

x_{1} = - \frac{6}{5}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-17) + \sqrt{2809}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{17 + \sqrt{2809}}{2 \cdot 15}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{2809}

53

ya que

53^{2}

2809

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{17 + 53}{30}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

17 + 53

70

x_{2} = \frac{70}{30}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

10

, su máximo común divisor:

\frac{70}{30}

\frac{7 \cdot 10}{3 \cdot 10}

\frac{7}{3}

x_{2} = \frac{7}{3}

Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

15 \cdot (x + \frac{6}{5}) \cdot (x - \frac{7}{3})

(3 x - 7) \cdot (5 x + 6)

▶Factores encontrados:

(3 x - 7) \cdot (5 x + 6)