factoriza 2x^3+7x^2-10x-24 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

2 x^{3}

+ 7 x^{2}

- 10 x

- 24

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 2

⇥Calculemos el valor de:

2 \cdot 2^{3}

+ 7 \cdot 2^{2}

- 10 \cdot 2

- 24

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

10 \cdot 2

20

⇥

2 \cdot 8

+ 7 \cdot 4

- 20

- 24

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 8

16

7 \cdot 4

28

■Partimos de

-20

y retrocedemos otros

24

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 20 - 24

-44

⇥

16 + 28 - 44

⇥ⓘ Partimos de

16

y avanzamos

28

en la recta numérica:

16 + 28

44

⇥

44 - 44

⇥ⓘ Partimos de

44

y retrocedemos

44

en la recta numérica, hasta el cero:

44 - 44

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 2

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(2 x^{3}

+ 7 x^{2}

- 10 x

- 24)

entre

(x - 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$2 x^{3}$ $+ 7 x^{2}$ $- 10 x$ $- 24$	$\frac{2 x^{3}}{x}$	$2 x^{2}$	$2 x^{2} \cdot (x - 2) = 2 x^{3} - 4 x^{2}$	$(2 x^{3}$ $+ 7 x^{2}$ $- 10 x$ $- 24) - (2 x^{3} - 4 x^{2}) = 11 x^{2} - 10 x - 24$
$11 x^{2} - 10 x - 24$	$\frac{11 x^{2}}{x}$	$11 x$	$11 x \cdot (x - 2) = 11 x^{2} - 22 x$	$(11 x^{2} - 10 x - 24) - (11 x^{2} - 22 x) = 12 x - 24$
$12 x - 24$	$\frac{12 x}{x}$	$12$	$12 \cdot (x - 2) = 12 x - 24$	$(12 x - 24) - (12 x - 24) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

2 x^{2} + 11 x + 12

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(2 x^{2} + 11 x + 12)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 2

b = 11

c = 12

⇥

Δ = 11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

11^{2}

11 \cdot 11

121

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 121 - 8 \cdot 12

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 12

8 \cdot (10 + 2)

8 \cdot 10 + 8 \cdot 2

80 + 16

96

⇥

Δ = 121 - 96

⇥ⓘ Partimos de

121

y retrocedemos

96

en la recta numérica:

121 - 96

25

⇥

Δ = 25

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - 5}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 11 - 5

-16

⇥

x_{1} = - \frac{16}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{16}{4}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + 5}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 11 + 5

-6

⇥

x_{2} = - \frac{6}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{4}

- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{3}{2}

⇥

x_{2} = - \frac{3}{2}

⇥Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

2 \cdot (x + 4) \cdot (x + \frac{3}{2})

(x + 4) \cdot (2 x + 3)

▷El factor

(2 x^{2} + 11 x + 12)

se factoriza como:

(x + 4) \cdot (2 x + 3)

▶Expresión factorizada:

(x + 4) \cdot (x - 2) \cdot (2 x + 3)