factoriza 2x^3+x^2-32x-16 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

2 x^{3}

+ x^{2}

- 32 x

- 16

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 4

⇥Calculemos el valor de:

2 \cdot 4^{3}

+ 4^{2}

- 32 \cdot 4

- 16

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

4^{2}

4 \cdot 4

16

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

32 \cdot 4

(30 + 2) \cdot 4

30 \cdot 4 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

⇥

2 \cdot 64

+ 16

- 128

- 16

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 64

2 \cdot (60 + 4)

2 \cdot 60 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

■Partimos de

16

y retrocedemos

128

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

16 - 128

-112

⇥

128 - 112 - 16

⇥ⓘ Partimos de

128

y retrocedemos

112

en la recta numérica:

128 - 112

16

⇥

16 - 16

⇥ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

16

en la recta numérica, hasta el cero:

16 - 16

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 4

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(2 x^{3}

+ x^{2}

- 32 x

- 16)

entre

(x - 4)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$2 x^{3}$ $+ x^{2}$ $- 32 x$ $- 16$	$\frac{2 x^{3}}{x}$	$2 x^{2}$	$2 x^{2} \cdot (x - 4) = 2 x^{3} - 8 x^{2}$	$(2 x^{3}$ $+ x^{2}$ $- 32 x$ $- 16) - (2 x^{3} - 8 x^{2}) = 9 x^{2} - 32 x - 16$
$9 x^{2} - 32 x - 16$	$\frac{9 x^{2}}{x}$	$9 x$	$9 x \cdot (x - 4) = 9 x^{2} - 36 x$	$(9 x^{2} - 32 x - 16) - (9 x^{2} - 36 x) = 4 x - 16$
$4 x - 16$	$\frac{4 x}{x}$	$4$	$4 \cdot (x - 4) = 4 x - 16$	$(4 x - 16) - (4 x - 16) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

2 x^{2} + 9 x + 4

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(2 x^{2} + 9 x + 4)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 2

b = 9

c = 4

⇥

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

9^{2}

9 \cdot 9

81

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 4

8

⇥

Δ = 81 - 8 \cdot 4

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 4

32

⇥

Δ = 81 - 32

⇥ⓘ Partimos de

81

y retrocedemos

32

en la recta numérica:

81 - 32

49

⇥

Δ = 49

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{- 9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{- 9 - 7}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 9 - 7

-16

⇥

x_{1} = - \frac{16}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{16}{4}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{- 9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{- 9 + 7}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 9 + 7

-2

⇥

x_{2} = - \frac{2}{4}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

⇥

x_{2} = - \frac{1}{2}

⇥Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

2 \cdot (x + 4) \cdot (x + \frac{1}{2})

(x + 4) \cdot (2 x + 1)

▷El factor

(2 x^{2} + 9 x + 4)

se factoriza como:

(x + 4) \cdot (2 x + 1)

▶Expresión factorizada:

(x + 4) \cdot (x - 4) \cdot (2 x + 1)