factoriza 32x^2-4x-15 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

32 x^{2} - 4 x - 15

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 32

b = -4

c = -15

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 32 \cdot (-15)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 32

4 \cdot (30 + 2)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 128 \cdot (-15)

128 \cdot 15

Δ = 16 + 128 \cdot 15

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

128 \cdot 15

128 \cdot (10 + 5)

128 \cdot 10 + 128 \cdot 5

1280 + 640

1920

Δ = 16 + 1920

ⓘ Partimos de

16

y avanzamos

1920

en la recta numérica:

16 + 1920

1936

Δ = 1936

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{1936}

44

ya que

44^{2}

1936

ⅰ

2 \cdot 32

2 \cdot (30 + 2)

2 \cdot 30 + 2 \cdot 2

60 + 4

64

x_{1} = \frac{4 - 44}{64}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

4 - 44

-40

x_{1} = - \frac{40}{64}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

8

, su máximo común divisor:

- \frac{40}{64}

- \frac{5 \cdot 8}{8 \cdot 8}

- \frac{5}{8}

x_{1} = - \frac{5}{8}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{1936}

44

ya que

44^{2}

1936

ⅰ

2 \cdot 32

2 \cdot (30 + 2)

2 \cdot 30 + 2 \cdot 2

60 + 4

64

x_{2} = \frac{4 + 44}{64}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

4 + 44

48

x_{2} = \frac{48}{64}

Simplificamos la fracción

\frac{48}{64}

por el factor común

16

para obtener la nueva fracción:

\frac{3}{4}

x_{2} = \frac{3}{4}

Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

32 \cdot (x + \frac{5}{8}) \cdot (x - \frac{3}{4})

(4 x - 3) \cdot (8 x + 5)

▶Factores encontrados:

(4 x - 3) \cdot (8 x + 5)