factoriza 3x^3+23x^2+40x-16 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

3 x^{3}

+ 23 x^{2}

+ 40 x

- 16

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = -4

⇥Calculemos el valor de:

3 \cdot {(-4)}^{3}

+ 23 \cdot {(-4)}^{2}

+ 40 \cdot (-4)

- 16

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-4)}^{3}

(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)

-64

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

40 \cdot (-4)

-160

⇥

3 \cdot (-64)

+ 23 \cdot 16

- 160

- 16

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-64)

- 3 \cdot 64

- 3 \cdot (60 + 4)

- (3 \cdot 60 + 3 \cdot 4)

- (180 + 12)

-192

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

23 \cdot 16

23 \cdot (10 + 6)

23 \cdot 10 + 23 \cdot 6

230 + 138

368

■Partimos de

-160

y retrocedemos otros

16

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 160 - 16

-176

⇥

- 192 + 368 - 176

⇥ⓘ Partimos de

-192

y avanzamos

368

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 192 + 368

176

⇥

176 - 176

⇥ⓘ Partimos de

176

y retrocedemos

176

en la recta numérica, hasta el cero:

176 - 176

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = -4

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(3 x^{3}

+ 23 x^{2}

+ 40 x

- 16)

entre

(x + 4)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$3 x^{3}$ $+ 23 x^{2}$ $+ 40 x$ $- 16$	$\frac{3 x^{3}}{x}$	$3 x^{2}$	$3 x^{2} \cdot (x + 4) = 3 x^{3} + 12 x^{2}$	$(3 x^{3}$ $+ 23 x^{2}$ $+ 40 x$ $- 16) - (3 x^{3} + 12 x^{2}) = 11 x^{2} + 40 x - 16$
$11 x^{2} + 40 x - 16$	$\frac{11 x^{2}}{x}$	$11 x$	$11 x \cdot (x + 4) = 11 x^{2} + 44 x$	$(11 x^{2} + 40 x - 16) - (11 x^{2} + 44 x) = - 4 x - 16$
$- 4 x - 16$	$- \frac{4 x}{x}$	$-4$	$-4 \cdot (x + 4) = - 4 x - 16$	$(- 4 x - 16) - (- 4 x - 16) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

3 x^{2} + 11 x - 4

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(3 x^{2} + 11 x - 4)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 3

b = 11

c = -4

⇥

Δ = 11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-4)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

11^{2}

11 \cdot 11

121

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 12 \cdot (-4)

12 \cdot 4

⇥

Δ = 121 + 12 \cdot 4

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

⇥

Δ = 121 + 48

⇥ⓘ Partimos de

121

y avanzamos

48

en la recta numérica:

121 + 48

169

⇥

Δ = 169

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{169}

13

ya que

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

x_{1} = \frac{- 11 - 13}{6}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 11 - 13

-24

⇥

x_{1} = - \frac{24}{6}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

- \frac{24}{6}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{169}

13

ya que

13^{2}

169

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

x_{2} = \frac{- 11 + 13}{6}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 11 + 13

2

⇥

x_{2} = \frac{2}{6}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

⇥

x_{2} = \frac{1}{3}

⇥Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

3 \cdot (x + 4) \cdot (x - \frac{1}{3})

(x + 4) \cdot (3 x - 1)

▷El factor

(3 x^{2} + 11 x - 4)

se factoriza como:

(x + 4) \cdot (3 x - 1)

▶Expresión factorizada:

{(x + 4)}^{2} \cdot (3 x - 1)