factoriza 4k^3+12k^2+11k+3 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

4 k^{3}

+ 12 k^{2}

+ 11 k

+ 3

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

k = -1

⇥Calculemos el valor de:

4 \cdot {(-1)}^{3}

+ 12 \cdot {(-1)}^{2}

+ 11 \cdot (-1)

+ 3

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

4 \cdot (-1)

-4

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

12 \cdot 1

12

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

11 \cdot (-1)

-11

⇥

- 4

+ 12

- 11

+ 3

⇥ⓘ Partimos de

-4

y avanzamos

12

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 4 + 12

8

⇥

8 - 11 + 3

⇥ⓘ Partimos de

8

y retrocedemos

11

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

8 - 11

-3

⇥

- 3 + 3

⇥ⓘ Partimos de

-3

y avanzamos

3

en la recta numérica, hasta el cero:

- 3 + 3

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

k = -1

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(4 k^{3}

+ 12 k^{2}

+ 11 k

+ 3)

entre

(k + 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$4 k^{3}$ $+ 12 k^{2}$ $+ 11 k$ $+ 3$	$\frac{4 k^{3}}{k}$	$4 k^{2}$	$4 k^{2} \cdot (k + 1) = 4 k^{3} + 4 k^{2}$	$(4 k^{3}$ $+ 12 k^{2}$ $+ 11 k$ $+ 3) - (4 k^{3} + 4 k^{2}) = 8 k^{2} + 11 k + 3$
$8 k^{2} + 11 k + 3$	$\frac{8 k^{2}}{k}$	$8 k$	$8 k \cdot (k + 1) = 8 k^{2} + 8 k$	$(8 k^{2} + 11 k + 3) - (8 k^{2} + 8 k) = 3 k + 3$
$3 k + 3$	$\frac{3 k}{k}$	$3$	$3 \cdot (k + 1) = 3 k + 3$	$(3 k + 3) - (3 k + 3) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

4 k^{2} + 8 k + 3

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(4 k^{2} + 8 k + 3)

⇥Dada la forma cuadrática

a k^{2} + b k + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 4

b = 8

c = 3

⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 64 - 16 \cdot 3

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

16 \cdot 3

(10 + 6) \cdot 3

10 \cdot 3 + 6 \cdot 3

30 + 18

48

⇥

Δ = 64 - 48

⇥ⓘ Partimos de

64

y retrocedemos

48

en la recta numérica:

64 - 48

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥

k_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

k_{1} = \frac{- 8 - 4}{8}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 8 - 4

-12

⇥

k_{1} = - \frac{12}{8}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{12}{8}

- \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{3}{2}

⇥

k_{1} = - \frac{3}{2}

⇥La fórmula de segundo grado da

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥

k_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

k_{2} = \frac{- 8 + 4}{8}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 8 + 4

-4

⇥

k_{2} = - \frac{4}{8}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{8}

- \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{1}{2}

⇥

k_{2} = - \frac{1}{2}

⇥Un trinomio de raíces

k_{1}

k_{2}

se escribe

a \cdot (k - k_{1}) \cdot (k - k_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

4 \cdot (k + \frac{1}{2}) \cdot (k + \frac{3}{2})

(2 k + 1) \cdot (2 k + 3)

▷El factor

(4 k^{2} + 8 k + 3)

se factoriza como:

(2 k + 1) \cdot (2 k + 3)

▶Expresión factorizada:

(k + 1) \cdot (2 k + 1) \cdot (2 k + 3)