factoriza 4p^2-4p-3 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

4 p^{2} - 4 p - 3

Dada la forma cuadrática

a p^{2} + b p + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 4

b = -4

c = -3

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-3)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 16 \cdot (-3)

16 \cdot 3

Δ = 16 + 16 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

16 \cdot 3

(10 + 6) \cdot 3

10 \cdot 3 + 6 \cdot 3

30 + 18

48

Δ = 16 + 48

ⓘ Partimos de

16

y avanzamos

48

en la recta numérica:

16 + 48

64

Δ = 64

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

p_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

p_{1} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{64}

8

ya que

8^{2}

64

ⅰ

2 \cdot 4

8

p_{1} = \frac{4 - 8}{8}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

4 - 8

-4

p_{1} = - \frac{4}{8}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{8}

- \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{1}{2}

p_{1} = - \frac{1}{2}

La fórmula de segundo grado da

p_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

p_{2} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{64}

8

ya que

8^{2}

64

ⅰ

2 \cdot 4

8

p_{2} = \frac{4 + 8}{8}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

4 + 8

12

p_{2} = \frac{12}{8}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

\frac{12}{8}

\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}

\frac{3}{2}

p_{2} = \frac{3}{2}

Un trinomio de raíces

p_{1}

p_{2}

se escribe

a \cdot (p - p_{1}) \cdot (p - p_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

4 \cdot (p + \frac{1}{2}) \cdot (p - \frac{3}{2})

(2 p + 1) \cdot (2 p - 3)

▶Factores encontrados:

(2 p + 1) \cdot (2 p - 3)