factoriza 56x^2+31x+3 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

56 x^{2} + 31 x + 3

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 56

b = 31

c = 3

Δ = 31^{2} - 4 \cdot 56 \cdot 3

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

31^{2}

31 \cdot 31

961

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 56

4 \cdot (50 + 6)

4 \cdot 50 + 4 \cdot 6

200 + 24

224

Δ = 961 - 224 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

224 \cdot 3

(200 + 20 + 4) \cdot 3

200 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 4 \cdot 3

600 + 60 + 12

672

Δ = 961 - 672

ⓘ Partimos de

961

y retrocedemos

672

en la recta numérica:

961 - 672

289

Δ = 289

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 31 - \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

x_{1} = \frac{- 31 - \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{289}

17

ya que

17^{2}

289

ⅰ

2 \cdot 56

2 \cdot (50 + 6)

2 \cdot 50 + 2 \cdot 6

100 + 12

112

x_{1} = \frac{- 31 - 17}{112}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 31 - 17

-48

x_{1} = - \frac{48}{112}

Simplificamos la fracción

\frac{48}{112}

por el factor común

16

para obtener la nueva fracción:

\frac{3}{7}

x_{1} = - \frac{3}{7}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 31 + \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

x_{2} = \frac{- 31 + \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{289}

17

ya que

17^{2}

289

ⅰ

2 \cdot 56

2 \cdot (50 + 6)

2 \cdot 50 + 2 \cdot 6

100 + 12

112

x_{2} = \frac{- 31 + 17}{112}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 31 + 17

-14

x_{2} = - \frac{14}{112}

Simplificamos la fracción

\frac{14}{112}

por el factor común

14

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{8}

x_{2} = - \frac{1}{8}

Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

56 \cdot (x + \frac{1}{8}) \cdot (x + \frac{3}{7})

(7 x + 3) \cdot (8 x + 1)

▶Factores encontrados:

(7 x + 3) \cdot (8 x + 1)