factoriza 5k^2-18k+9 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

5 k^{2} - 18 k + 9

Dada la forma cuadrática

a k^{2} + b k + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 5

b = -18

c = 9

Δ = {(-18)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 9

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-18)}^{2}

(-18) \cdot (-18)

324

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 5

20

Δ = 324 - 20 \cdot 9

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

20 \cdot 9

180

Δ = 324 - 180

ⓘ Partimos de

324

y retrocedemos

180

en la recta numérica:

324 - 180

144

Δ = 144

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-18) - \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

k_{1} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{144}

12

ya que

12^{2}

144

ⅰ

2 \cdot 5

10

k_{1} = \frac{18 - 12}{10}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

18 - 12

6

k_{1} = \frac{6}{10}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{10}

\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}

\frac{3}{5}

k_{1} = \frac{3}{5}

La fórmula de segundo grado da

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-18) + \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

k_{2} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{144}

12

ya que

12^{2}

144

ⅰ

2 \cdot 5

10

k_{2} = \frac{18 + 12}{10}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

18 + 12

30

k_{2} = \frac{30}{10}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

10

, su máximo común divisor:

\frac{30}{10}

3

k_{2} = 3

Un trinomio de raíces

k_{1}

k_{2}

se escribe

a \cdot (k - k_{1}) \cdot (k - k_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

5 \cdot (k - 3) \cdot (k - \frac{3}{5})

(k - 3) \cdot (5 k - 3)

▶Factores encontrados:

(k - 3) \cdot (5 k - 3)