factoriza 5x^3+30x^2-10x — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

5 x^{3} + 30 x^{2} - 10 x

Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (5 x^{2} + 30 x - 10)

Factoricemos en

ℝ

(5 x^{2} + 30 x - 10)

Extraemos

5

, el máximo común divisor de los coeficientes:

5 x^{2} + 30 x - 10

5 \cdot (x^{2} + 6 x - 2)

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 6

c = -2

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 36 + 8

ⓘ Partimos de

36

y avanzamos

8

en la recta numérica:

36 + 8

44

Δ = 44

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{44}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{44}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

44

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{44}

\sqrt{4 \cdot 11}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{11}

2 \cdot \sqrt{11}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 6 - 2 \cdot \sqrt{11}

- (6 + 2 \cdot \sqrt{11})

x_{1} = - \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{11})}{2}

- (3 + \sqrt{11})

x_{1} = - (3 + \sqrt{11})

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 + \sqrt{11})

- 3 - \sqrt{11}

x_{1} = - 3 - \sqrt{11}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{44}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{44}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

44

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{44}

\sqrt{4 \cdot 11}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{11}

2 \cdot \sqrt{11}

x_{2} = \frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{11})}{2}

- 3 + \sqrt{11}

x_{2} = - 3 + \sqrt{11}

Factores encontrados:

(x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

▷El factor

(5 x^{2} + 30 x - 10)

se factoriza como:

5 \cdot (x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

2) Sustituyamos cada factor por su factorización:

x \cdot 5 \cdot (x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\sqrt{11} - 3)

- \sqrt{11} + 3

- (- \sqrt{11} - 3)

\sqrt{11} + 3

x \cdot 5 \cdot (x - \sqrt{11} + 3) \cdot (x + \sqrt{11} + 3)

ⓘ Extraemos el factor común

x

▶Expresión factorizada:

5 x \cdot (x + \sqrt{11} + 3) \cdot (x - \sqrt{11} + 3)