factoriza (3y-1)^2+7(3y-1)-44 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

{(3 y - 1)}^{2} + 7 \cdot (3 y - 1) - 44

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(3 y - 1)}^{2}

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1)

■Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

7 \cdot (3 y - 1)

21 y - 7

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1)

+ 21 y

- 7

- 44

ⓘ Partimos de

-7

y retrocedemos otros

44

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 7 - 44

-51

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1) + 21 y - 51

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(3 y - 1) \cdot (3 y - 1)

3 \cdot y \cdot 3 \cdot y

+ 3 y \cdot (-1)

- 1 \cdot 3 y

- 1 \cdot (-1)

3 \cdot y \cdot 3 \cdot y

+ 3 y \cdot (-1)

- 1 \cdot 3 y

- 1 \cdot (-1)

+ 21 y

- 51

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 3

9

1 \cdot 3 y

3 y

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

y \cdot y

y^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-1)

-3

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-1 \cdot (-1)

1

9 y^{2}

- 3 y

- 3 y

+ 1

+ 21 y

- 51

ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

51

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 51

-50

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 y - 3 y + 21 y

15 y

9 y^{2} + 15 y - 50

Dada la forma cuadrática

a y^{2} + b y + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 9

b = 15

c = -50

Δ = 15^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (-50)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

15^{2}

15 \cdot 15

225

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 9

36

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 36 \cdot (-50)

36 \cdot 50

Δ = 225 + 36 \cdot 50

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

36 \cdot 50

(30 + 6) \cdot 50

30 \cdot 50 + 6 \cdot 50

1500 + 300

1800

Δ = 225 + 1800

ⓘ Partimos de

225

y avanzamos

1800

en la recta numérica:

225 + 1800

2025

Δ = 2025

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 15 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

y_{1} = \frac{- 15 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{2025}

45

ya que

45^{2}

2025

ⅰ

2 \cdot 9

18

y_{1} = \frac{- 15 - 45}{18}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 15 - 45

-60

y_{1} = - \frac{60}{18}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

- \frac{60}{18}

- \frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 6}

- \frac{10}{3}

y_{1} = - \frac{10}{3}

La fórmula de segundo grado da

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 15 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

y_{2} = \frac{- 15 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 9}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{2025}

45

ya que

45^{2}

2025

ⅰ

2 \cdot 9

18

y_{2} = \frac{- 15 + 45}{18}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 15 + 45

30

y_{2} = \frac{30}{18}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

\frac{30}{18}

\frac{5 \cdot 6}{3 \cdot 6}

\frac{5}{3}

y_{2} = \frac{5}{3}

Un trinomio de raíces

y_{1}

y_{2}

se escribe

a \cdot (y - y_{1}) \cdot (y - y_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

9 \cdot (y - \frac{5}{3}) \cdot (y + \frac{10}{3})

(3 y - 5) \cdot (3 y + 10)

▶Factores encontrados:

(3 y - 5) \cdot (3 y + 10)