factoriza (8x^2+22x+15)/(4x+5) — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

\frac{8 x^{2} + 22 x + 15}{4 x + 5}

Factorizamos el numerador y el denominador buscando sus raíces; las del denominador serán valores excluidos

2) Factoricemos el numerador:

8 x^{2} + 22 x + 15

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 8

b = 22

c = 15

Δ = 22^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 15

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

22^{2}

22 \cdot 22

484

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 8

32

Δ = 484 - 32 \cdot 15

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

32 \cdot 15

32 \cdot (10 + 5)

32 \cdot 10 + 32 \cdot 5

320 + 160

480

Δ = 484 - 480

ⓘ Partimos de

484

y retrocedemos

480

en la recta numérica:

484 - 480

4

Δ = 4

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

x_{1} = \frac{- 22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

ⅰ

2 \cdot 8

16

x_{1} = \frac{- 22 - 2}{16}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 22 - 2

-24

x_{1} = - \frac{24}{16}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

8

, su máximo común divisor:

- \frac{24}{16}

- \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8}

- \frac{3}{2}

x_{1} = - \frac{3}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

x_{2} = \frac{- 22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

ⅰ

2 \cdot 8

16

x_{2} = \frac{- 22 + 2}{16}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 22 + 2

-20

x_{2} = - \frac{20}{16}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{20}{16}

- \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4}

- \frac{5}{4}

x_{2} = - \frac{5}{4}

Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

8 \cdot (x + \frac{3}{2}) \cdot (x + \frac{5}{4})

(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)

▷El numerador

8 x^{2} + 22 x + 15

se factoriza como:

(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)

Las raíces del denominador son los valores excluidos:

x \neq - \frac{5}{4}

3) Sustituyamos el numerador y el denominador por sus factorizaciones:

\frac{(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)}{4 x + 5}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

4 x + 5

\frac{(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)}{4 x + 5}

2 x + 3

▶Factor encontrado:

2 x + 3