factoriza (x+2)/(x^2-3x-10) — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}

Factorizamos el numerador y el denominador buscando sus raíces; las del denominador serán valores excluidos

2) Factoricemos el denominador:

x^{2} - 3 x - 10

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -3

c = -10

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-10)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-10)

40

Δ = 9 + 40

ⓘ Partimos de

9

y avanzamos

40

en la recta numérica:

9 + 40

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{1} = \frac{3 - 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

3 - 7

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{2} = \frac{3 + 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

3 + 7

10

x_{2} = \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{10}{2}

5

x_{2} = 5

▷El denominador

x^{2} - 3 x - 10

se factoriza como:

(x + 2) \cdot (x - 5)

Las raíces del denominador son los valores excluidos:

x \in ℝ \ {-2; 5}

3) Sustituyamos el numerador y el denominador por sus factorizaciones:

\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x - 5)}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x + 2

\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x - 5)}

\frac{1}{x - 5}

▶Factores encontrados:

\frac{1}{x - 5}