factoriza (x^2-9x+20)/(16-x^2) — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

\frac{x^{2} - 9 x + 20}{16 - x^{2}}

Factorizamos el numerador y el denominador buscando sus raíces; las del denominador serán valores excluidos

2) Factoricemos el numerador:

x^{2} - 9 x + 20

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -9

c = 20

Δ = {(-9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-9)}^{2}

(-9) \cdot (-9)

81

Δ = 81 - 4 \cdot 20

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 20

80

Δ = 81 - 80

ⓘ Partimos de

81

y retrocedemos

80

en la recta numérica:

81 - 80

1

Δ = 1

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{9 - 1}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 - 1

8

x_{1} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

x_{1} = 4

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{9 + 1}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 + 1

10

x_{2} = \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{10}{2}

5

x_{2} = 5

▷El numerador

x^{2} - 9 x + 20

se factoriza como:

(x - 4) \cdot (x - 5)

3) Factoricemos el denominador:

16 - x^{2}

Para

16 - x^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

4^{2} - x^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = 4

b = x

▷El denominador

16 - x^{2}

se factoriza como:

(4 - x) \cdot (x + 4)

Las raíces del denominador son los valores excluidos:

x \in ℝ \ {-4; 4}

4) Sustituyamos el numerador y el denominador por sus factorizaciones:

\frac{(x - 4) \cdot (x - 5)}{(4 - x) \cdot (x + 4)}

Simplificamos la fracción

\frac{x - 4}{4 - x}

por el factor común

x - 4

para obtener la nueva expresión:

-1

\frac{x - 5}{-1 \cdot (x + 4)}

ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot (x + 4)

- (x + 4)

\frac{x - 5}{- (x + 4)}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{x - 5}{- (x + 4)}

- \frac{x - 5}{x + 4}

- \frac{x - 5}{x + 4}

ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{x - 5}{x + 4}

\frac{- x + 5}{x + 4}

\frac{- x + 5}{x + 4}

▶Factores encontrados:

\frac{5 - x}{x + 4}