factoriza -λ^3+3λ+2 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

- λ^{3} + 3 λ + 2

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

λ = -1

⇥Calculemos el valor de:

- {(-1)}^{3} + 3 \cdot (-1) + 2

⇥ⓘ Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

- {(-1)}^{3}

- ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1))

- (-1)

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-1)

-3

⇥

- (-1) - 3 + 2

⇥ⓘ Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto: dos signos menos dan un más:

- (-1)

1

■Partimos de

-3

y avanzamos

2

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 3 + 2

-1

⇥

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

λ = -1

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(- λ^{3} + 3 λ + 2)

entre

(λ + 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$- λ^{3} + 3 λ + 2$	$- \frac{λ^{3}}{λ}$	$- λ^{2}$	$- λ^{2} \cdot (λ + 1) = - λ^{3} - λ^{2}$	$(- λ^{3} + 3 λ + 2) - (- λ^{3} - λ^{2}) = λ^{2} + 3 λ + 2$
$λ^{2} + 3 λ + 2$	$\frac{λ^{2}}{λ}$	$λ$	$λ \cdot (λ + 1) = λ^{2} + λ$	$(λ^{2} + 3 λ + 2) - (λ^{2} + λ) = 2 λ + 2$
$2 λ + 2$	$\frac{2 λ}{λ}$	$2$	$2 \cdot (λ + 1) = 2 λ + 2$	$(2 λ + 2) - (2 λ + 2) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

- λ^{2} + λ + 2

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(- λ^{2} + λ + 2)

⇥Dada la forma cuadrática

a λ^{2} + b λ + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = -1

b = 1

c = 2

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-1) \cdot 2

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 1 + 4 \cdot 2

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

8

en la recta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

λ_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥

λ_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

λ_{1} = \frac{- 1 - 3}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 1 - 3}{-2}

- (\frac{- 1 - 3}{2})

⇥

λ_{1} = - (\frac{- 1 - 3}{2})

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 - 3

-4

⇥

λ_{1} = - (\frac{-4}{2})

⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-4}{2})

\frac{4}{2}

⇥

λ_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

⇥

λ_{1} = 2

⇥La fórmula de segundo grado da

λ_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥

λ_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

λ_{2} = \frac{- 1 + 3}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 1 + 3}{-2}

- (\frac{- 1 + 3}{2})

⇥

λ_{2} = - (\frac{- 1 + 3}{2})

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 + 3

2

⇥

λ_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

λ_{2} = -1

▷El factor

(- λ^{2} + λ + 2)

se factoriza como:

- (λ + 1) \cdot (λ - 2)

2) Sustituyamos cada factor por su factorización:

(λ + 1) \cdot (- (λ + 1) \cdot (λ - 2))

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

(λ + 1) \cdot (- (λ + 1)) \cdot (λ - 2)

- (λ + 1) \cdot (λ + 1) \cdot (λ - 2)

ⅰ

- λ^{2} + λ + 2

- (λ + 1) \cdot (λ - 2)

- (λ + 1) \cdot (λ + 1) \cdot (λ - 2)

▶Expresión factorizada:

- {(λ + 1)}^{2} \cdot (λ - 2)