factoriza -3x^2+2x+8 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

- 3 x^{2} + 2 x + 8

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = -3

b = 2

c = 8

Δ = 2^{2} - 4 \cdot (-3) \cdot 8

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-3)

12

Δ = 4 + 12 \cdot 8

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 8

(10 + 2) \cdot 8

10 \cdot 8 + 2 \cdot 8

80 + 16

96

Δ = 4 + 96

ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

96

en la recta numérica:

4 + 96

100

Δ = 100

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{100}

10

ya que

10^{2}

100

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-3)

-6

x_{1} = \frac{- 2 - 10}{-6}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 2 - 10}{-6}

- (\frac{- 2 - 10}{6})

x_{1} = - (\frac{- 2 - 10}{6})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 2 - 10

-12

x_{1} = - (\frac{-12}{6})

ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-12}{6})

\frac{12}{6}

x_{1} = \frac{12}{6}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

\frac{12}{6}

2

x_{1} = 2

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{100}

10

ya que

10^{2}

100

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-3)

-6

x_{2} = \frac{- 2 + 10}{-6}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 2 + 10}{-6}

- (\frac{- 2 + 10}{6})

x_{2} = - (\frac{- 2 + 10}{6})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 2 + 10

8

x_{2} = - \frac{8}{6}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{6}

- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{4}{3}

x_{2} = - \frac{4}{3}

Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

-3 \cdot (x - 2) \cdot (x + \frac{4}{3})

- (x - 2) \cdot (3 x + 4)

▶Factores encontrados:

- (x - 2) \cdot (3 x + 4)