factoriza -6x^2-13x-6 — solución paso a paso

Factoricemos en

ℝ

- 6 x^{2} - 13 x - 6

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = -6

b = -13

c = -6

Δ = {(-13)}^{2} - 4 \cdot (-6) \cdot (-6)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-13)}^{2}

(-13) \cdot (-13)

169

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-6)

24

■Colocamos el signo menos delante del producto:

24 \cdot (-6)

- 24 \cdot 6

Δ = 169 - 24 \cdot 6

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

24 \cdot 6

(20 + 4) \cdot 6

20 \cdot 6 + 4 \cdot 6

120 + 24

144

Δ = 169 - 144

ⓘ Partimos de

169

y retrocedemos

144

en la recta numérica:

169 - 144

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

x_{1} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-6)

-12

x_{1} = \frac{13 - 5}{-12}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{13 - 5}{-12}

- \frac{13 - 5}{12}

x_{1} = - \frac{13 - 5}{12}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

13 - 5

8

x_{1} = - \frac{8}{12}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{12}

- \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}

- \frac{2}{3}

x_{1} = - \frac{2}{3}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

x_{2} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-6)

-12

x_{2} = \frac{13 + 5}{-12}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{13 + 5}{-12}

- \frac{13 + 5}{12}

x_{2} = - \frac{13 + 5}{12}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

13 + 5

18

x_{2} = - \frac{18}{12}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

- \frac{18}{12}

- \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}

- \frac{3}{2}

x_{2} = - \frac{3}{2}

Un trinomio de raíces

x_{1}

x_{2}

se escribe

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; al introducir el coeficiente en los paréntesis, obtenemos:

-6 \cdot (x + \frac{2}{3}) \cdot (x + \frac{3}{2})

- (2 x + 3) \cdot (3 x + 2)

▶Factores encontrados:

- (2 x + 3) \cdot (3 x + 2)