factoriza -a^3+4a^2-5a+2 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

- a^{3}

+ 4 a^{2}

- 5 a

+ 2

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

a = 1

⇥Calculemos el valor de:

- 1^{3}

+ 4 \cdot 1^{2}

- 5 \cdot 1

+ 2

⇥

- 1

+ 4

- 5

+ 2

⇥ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

4

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 1 + 4

3

⇥

3 - 5 + 2

⇥ⓘ Partimos de

3

y retrocedemos

5

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

3 - 5

-2

⇥

- 2 + 2

⇥ⓘ Partimos de

-2

y avanzamos

2

en la recta numérica, hasta el cero:

- 2 + 2

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

a = 1

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(- a^{3}

+ 4 a^{2}

- 5 a

+ 2)

entre

(a - 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$- a^{3}$ $+ 4 a^{2}$ $- 5 a$ $+ 2$	$- \frac{a^{3}}{a}$	$- a^{2}$	$- a^{2} \cdot (a - 1) = - a^{3} + a^{2}$	$(- a^{3}$ $+ 4 a^{2}$ $- 5 a$ $+ 2) - (- a^{3} + a^{2}) = 3 a^{2} - 5 a + 2$
$3 a^{2} - 5 a + 2$	$\frac{3 a^{2}}{a}$	$3 a$	$3 a \cdot (a - 1) = 3 a^{2} - 3 a$	$(3 a^{2} - 5 a + 2) - (3 a^{2} - 3 a) = - 2 a + 2$
$- 2 a + 2$	$- \frac{2 a}{a}$	$-2$	$-2 \cdot (a - 1) = - 2 a + 2$	$(- 2 a + 2) - (- 2 a + 2) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

- a^{2} + 3 a - 2

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(- a^{2} + 3 a - 2)

⇥Dada la forma cuadrática

A a^{2} + B a + C

, calculamos el discriminante:

Δ = B^{2} - 4 A C

. Aquí

A = -1

B = 3

C = -2

⇥

Δ = 3^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-1)

4

■Colocamos el signo menos delante del producto:

4 \cdot (-2)

- 4 \cdot 2

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot 2

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 9 - 8

⇥ⓘ Partimos de

9

y retrocedemos

8

en la recta numérica:

9 - 8

1

⇥

Δ = 1

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

a_{1}

\frac{- B - \sqrt{Δ}}{2 A}

\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)}

⇥

a_{1} = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 - 1

-4

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

a_{1} = \frac{-4}{-2}

⇥ⓘ Los signos menos del numerador y del denominador se cancelan:

\frac{-4}{-2}

\frac{4}{2}

⇥

a_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

⇥

a_{1} = 2

⇥La fórmula de segundo grado da

a_{2}

\frac{- B + \sqrt{Δ}}{2 A}

\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)}

⇥

a_{2} = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 3 + 1

-2

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

a_{2} = \frac{-2}{-2}

⇥ⓘ Los signos menos del numerador y del denominador se cancelan:

\frac{-2}{-2}

\frac{2}{2}

⇥

a_{2} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

⇥

a_{2} = 1

▷El factor

(- a^{2} + 3 a - 2)

se factoriza como:

- (a - 1) \cdot (a - 2)

2) Sustituyamos cada factor por su factorización:

(a - 1) \cdot (- (a - 1) \cdot (a - 2))

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

(a - 1) \cdot (- (a - 1)) \cdot (a - 2)

- (a - 1) \cdot (a - 1) \cdot (a - 2)

ⅰ

- a^{2} + 3 a - 2

- (a - 1) \cdot (a - 2)

- (a - 1) \cdot (a - 1) \cdot (a - 2)

▶Expresión factorizada:

- {(a - 1)}^{2} \cdot (a - 2)