factoriza r^3-25r^2-9r+225 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

r^{3}

- 25 r^{2}

- 9 r

+ 225

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

r = 3

⇥Calculemos el valor de:

3^{3}

- 25 \cdot 3^{2}

- 9 \cdot 3

+ 225

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

9 \cdot 3

27

⇥

27

- 25 \cdot 9

- 27

+ 225

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

25 \cdot 9

(20 + 5) \cdot 9

20 \cdot 9 + 5 \cdot 9

180 + 45

225

⇥

27

- 225

- 27

+ 225

⇥ⓘ Partimos de

27

y retrocedemos

225

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

27 - 225

-198

⇥

- 198 - 27 + 225

⇥ⓘ Partimos de

-198

y retrocedemos otros

27

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 198 - 27

-225

⇥

- 225 + 225

⇥ⓘ Partimos de

-225

y avanzamos

225

en la recta numérica, hasta el cero:

- 225 + 225

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

r = 3

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(r^{3}

- 25 r^{2}

- 9 r

+ 225)

entre

(r - 3)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$r^{3}$ $- 25 r^{2}$ $- 9 r$ $+ 225$	$\frac{r^{3}}{r}$	$r^{2}$	$r^{2} \cdot (r - 3) = r^{3} - 3 r^{2}$	$(r^{3}$ $- 25 r^{2}$ $- 9 r$ $+ 225) - (r^{3} - 3 r^{2}) = - 22 r^{2} - 9 r + 225$
$- 22 r^{2} - 9 r + 225$	$- \frac{22 r^{2}}{r}$	$- 22 r$	$- 22 r \cdot (r - 3) = - 22 r^{2} + 66 r$	$(- 22 r^{2} - 9 r + 225) - (- 22 r^{2} + 66 r) = - 75 r + 225$
$- 75 r + 225$	$- \frac{75 r}{r}$	$-75$	$-75 \cdot (r - 3) = - 75 r + 225$	$(- 75 r + 225) - (- 75 r + 225) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

r^{2} - 22 r - 75

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(r^{2} - 22 r - 75)

⇥Dada la forma cuadrática

a r^{2} + b r + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -22

c = -75

⇥

Δ = {(-22)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-75)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-22)}^{2}

(-22) \cdot (-22)

484

⇥

Δ = 484 - 4 \cdot (-75)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-75)

4 \cdot 75

4 \cdot (70 + 5)

4 \cdot 70 + 4 \cdot 5

280 + 20

300

⇥

Δ = 484 + 300

⇥ⓘ Partimos de

484

y avanzamos

300

en la recta numérica:

484 + 300

784

⇥

Δ = 784

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

r_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-22) - \sqrt{784}}{2 \cdot 1}

⇥

r_{1} = \frac{22 - \sqrt{784}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{784}

28

ya que

28^{2}

784

⇥

r_{1} = \frac{22 - 28}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

22 - 28

-6

⇥

r_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

r_{1} = -3

⇥La fórmula de segundo grado da

r_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-22) + \sqrt{784}}{2 \cdot 1}

⇥

r_{2} = \frac{22 + \sqrt{784}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{784}

28

ya que

28^{2}

784

⇥

r_{2} = \frac{22 + 28}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

22 + 28

50

⇥

r_{2} = \frac{50}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{50}{2}

25

⇥

r_{2} = 25

▷El factor

(r^{2} - 22 r - 75)

se factoriza como:

(r + 3) \cdot (r - 25)

▶Expresión factorizada:

(r + 3) \cdot (r - 3) \cdot (r - 25)