1) Factoricemos en $ℝ$: $x^3$$+3x^2$$+3x$$+9$

⇥1.1) Probemos la solución evidente: $x=-3$

⇥Calculemos el valor de: ${\left(-3\right)}^3$$+3·{\left(-3\right)}^2$$+3·\left(-3\right)$$+9$

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido: ${\left(-3\right)}^3$ = $\left(-3\right)·\left(-3\right)·\left(-3\right)$ = $-27$, ${\left(-3\right)}^2$ = $\left(-3\right)·\left(-3\right)$ = $9$■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo: $3·\left(-3\right)$ = $-9$

⇥ $-27$$+3·9$$-9$$+9$

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas: $3·9$ = $27$■Partimos de $-9$ y avanzamos $9$ en la recta numérica, hasta el cero: $-9+9$ = $0$

⇥ $-27+27+0$

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada: $27+0$ = $27$■Partimos de $-27$ y avanzamos $27$ en la recta numérica, hasta el cero: $-27+27$ = $0$

⇥ $0$

⇥Raíz encontrada: $x=-3$

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de $(x^3$$+3x^2$$+3x$$+9)$ entre $(x+3)$

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^3$$+3x^2$$+3x$$+9$	$\frac{x^3}{x}$	$x^2$	$x^2·(x+3)=x^3+3x^2$	$(x^3$$+3x^2$$+3x$$+9)-(x^3+3x^2)=3x+9$
$3x+9$	$\frac{3x}{x}$	$3$	$3·(x+3)=3x+9$	$(3x+9)-(3x+9)=0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es: $x^2+3$

ⓘ Como un cuadrado nunca es negativo, $x^2+3$ no se anula ni se factoriza en ℝ

ⅰ $x^3$$+3x^2$$+3x$$+9$ = $(x+3)·(x^2+3)$

▶Expresión factorizada:   $(x+3)·(x^2+3)$