factoriza x^3+6x^2-4x-24 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{3}

+ 6 x^{2}

- 4 x

- 24

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 2

⇥Calculemos el valor de:

2^{3}

+ 6 \cdot 2^{2}

- 4 \cdot 2

- 24

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

⇥

8

+ 6 \cdot 4

- 8

- 24

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

6 \cdot 4

24

⇥

8

+ 24

- 8

- 24

⇥ⓘ Partimos de

8

y avanzamos

24

en la recta numérica:

8 + 24

32

⇥

32 - 8 - 24

⇥ⓘ Partimos de

32

y retrocedemos

8

en la recta numérica:

32 - 8

24

⇥

24 - 24

⇥ⓘ Partimos de

24

y retrocedemos

24

en la recta numérica, hasta el cero:

24 - 24

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 2

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{3}

+ 6 x^{2}

- 4 x

- 24)

entre

(x - 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $+ 6 x^{2}$ $- 4 x$ $- 24$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $+ 6 x^{2}$ $- 4 x$ $- 24) - (x^{3} - 2 x^{2}) = 8 x^{2} - 4 x - 24$
$8 x^{2} - 4 x - 24$	$\frac{8 x^{2}}{x}$	$8 x$	$8 x \cdot (x - 2) = 8 x^{2} - 16 x$	$(8 x^{2} - 4 x - 24) - (8 x^{2} - 16 x) = 12 x - 24$
$12 x - 24$	$\frac{12 x}{x}$	$12$	$12 \cdot (x - 2) = 12 x - 24$	$(12 x - 24) - (12 x - 24) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} + 8 x + 12

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} + 8 x + 12)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 8

c = 12

⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

⇥

Δ = 64 - 4 \cdot 12

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

⇥

Δ = 64 - 48

⇥ⓘ Partimos de

64

y retrocedemos

48

en la recta numérica:

64 - 48

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

x_{1} = \frac{- 8 - 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 8 - 4

-12

⇥

x_{1} = - \frac{12}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{12}{2}

-6

⇥

x_{1} = -6

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

x_{2} = \frac{- 8 + 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 8 + 4

-4

⇥

x_{2} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

⇥

x_{2} = -2

▷El factor

(x^{2} + 8 x + 12)

se factoriza como:

(x + 2) \cdot (x + 6)

▶Expresión factorizada:

(x + 2) \cdot (x + 6) \cdot (x - 2)