factoriza x^3-3x^2-10x+24 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{3}

- 3 x^{2}

- 10 x

+ 24

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 2

⇥Calculemos el valor de:

2^{3}

- 3 \cdot 2^{2}

- 10 \cdot 2

+ 24

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

10 \cdot 2

20

⇥

8

- 3 \cdot 4

- 20

+ 24

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

⇥

8

- 12

- 20

+ 24

⇥ⓘ Partimos de

8

y retrocedemos

12

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

8 - 12

-4

⇥

- 4 - 20 + 24

⇥ⓘ Partimos de

-4

y retrocedemos otros

20

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 4 - 20

-24

⇥

- 24 + 24

⇥ⓘ Partimos de

-24

y avanzamos

24

en la recta numérica, hasta el cero:

- 24 + 24

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 2

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(x^{3}

- 3 x^{2}

- 10 x

+ 24)

entre

(x - 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $- 3 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 24$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 3 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 24) - (x^{3} - 2 x^{2}) = - x^{2} - 10 x + 24$
$- x^{2} - 10 x + 24$	$- \frac{x^{2}}{x}$	$- x$	$- x \cdot (x - 2) = - x^{2} + 2 x$	$(- x^{2} - 10 x + 24) - (- x^{2} + 2 x) = - 12 x + 24$
$- 12 x + 24$	$- \frac{12 x}{x}$	$-12$	$-12 \cdot (x - 2) = - 12 x + 24$	$(- 12 x + 24) - (- 12 x + 24) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} - x - 12

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - x - 12)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -12

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-12)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

⇥

Δ = 1 + 48

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

48

en la recta numérica:

1 + 48

49

⇥

Δ = 49

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

⇥

x_{1} = \frac{1 - 7}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 7

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

⇥

x_{2} = \frac{1 + 7}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 7

8

⇥

x_{2} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

⇥

x_{2} = 4

▷El factor

(x^{2} - x - 12)

se factoriza como:

(x + 3) \cdot (x - 4)

▶Expresión factorizada:

(x + 3) \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)