factoriza x^3-5x^2-18x+72 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{3}

- 5 x^{2}

- 18 x

+ 72

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 3

⇥Calculemos el valor de:

3^{3}

- 5 \cdot 3^{2}

- 18 \cdot 3

+ 72

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

⇥

27

- 5 \cdot 9

- 54

+ 72

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 9

45

⇥

27

- 45

- 54

+ 72

⇥ⓘ Partimos de

27

y retrocedemos

45

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

27 - 45

-18

⇥

- 18 - 54 + 72

⇥ⓘ Partimos de

-18

y retrocedemos otros

54

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 18 - 54

-72

⇥

- 72 + 72

⇥ⓘ Partimos de

-72

y avanzamos

72

en la recta numérica, hasta el cero:

- 72 + 72

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 3

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 18 x

+ 72)

entre

(x - 3)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 18 x$ $+ 72$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 18 x$ $+ 72) - (x^{3} - 3 x^{2}) = - 2 x^{2} - 18 x + 72$
$- 2 x^{2} - 18 x + 72$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x - 3) = - 2 x^{2} + 6 x$	$(- 2 x^{2} - 18 x + 72) - (- 2 x^{2} + 6 x) = - 24 x + 72$
$- 24 x + 72$	$- \frac{24 x}{x}$	$-24$	$-24 \cdot (x - 3) = - 24 x + 72$	$(- 24 x + 72) - (- 24 x + 72) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} - 2 x - 24

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 2 x - 24)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = -24

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-24)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-24)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-24)

4 \cdot 24

4 \cdot (20 + 4)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 4

80 + 16

96

⇥

Δ = 4 + 96

⇥ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

96

en la recta numérica:

4 + 96

100

⇥

Δ = 100

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{100}

10

ya que

10^{2}

100

⇥

x_{1} = \frac{2 - 10}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 - 10

-8

⇥

x_{1} = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{2}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{100}

10

ya que

10^{2}

100

⇥

x_{2} = \frac{2 + 10}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 + 10

12

⇥

x_{2} = \frac{12}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{12}{2}

6

⇥

x_{2} = 6

▷El factor

(x^{2} - 2 x - 24)

se factoriza como:

(x + 4) \cdot (x - 6)

▶Expresión factorizada:

(x + 4) \cdot (x - 3) \cdot (x - 6)