factoriza x^3-8x^2+17x-10 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{3}

- 8 x^{2}

+ 17 x

- 10

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 1

⇥Calculemos el valor de:

1^{3}

- 8 \cdot 1^{2}

+ 17 \cdot 1

- 10

⇥

1

- 8

+ 17

- 10

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

8

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 8

-7

⇥

- 7 + 17 - 10

⇥ⓘ Partimos de

-7

y avanzamos

17

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 7 + 17

10

⇥

10 - 10

⇥ⓘ Partimos de

10

y retrocedemos

10

en la recta numérica, hasta el cero:

10 - 10

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 1

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{3}

- 8 x^{2}

+ 17 x

- 10)

entre

(x - 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ 17 x$ $- 10$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 1) = x^{3} - x^{2}$	$(x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ 17 x$ $- 10) - (x^{3} - x^{2}) = - 7 x^{2} + 17 x - 10$
$- 7 x^{2} + 17 x - 10$	$- \frac{7 x^{2}}{x}$	$- 7 x$	$- 7 x \cdot (x - 1) = - 7 x^{2} + 7 x$	$(- 7 x^{2} + 17 x - 10) - (- 7 x^{2} + 7 x) = 10 x - 10$
$10 x - 10$	$\frac{10 x}{x}$	$10$	$10 \cdot (x - 1) = 10 x - 10$	$(10 x - 10) - (10 x - 10) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} - 7 x + 10

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 7 x + 10)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -7

c = 10

⇥

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

⇥

Δ = 49 - 4 \cdot 10

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 10

40

⇥

Δ = 49 - 40

⇥ⓘ Partimos de

49

y retrocedemos

40

en la recta numérica:

49 - 40

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{7 - 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

7 - 3

4

⇥

x_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{1} = 2

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{7 + 3}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

7 + 3

10

⇥

x_{2} = \frac{10}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{10}{2}

5

⇥

x_{2} = 5

▷El factor

(x^{2} - 7 x + 10)

se factoriza como:

(x - 2) \cdot (x - 5)

▶Expresión factorizada:

(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)