factoriza x^3-8x^2+x+42 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{3}

- 8 x^{2}

+ x

+ 42

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = -2

⇥Calculemos el valor de:

{(-2)}^{3}

- 8 \cdot {(-2)}^{2}

- 2

+ 42

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Partimos de

-2

y avanzamos

42

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 2 + 42

40

⇥

- 8 - 8 \cdot 4 + 40

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 4

32

⇥

- 8 - 32 + 40

⇥ⓘ Partimos de

-8

y retrocedemos otros

32

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 8 - 32

-40

⇥

- 40 + 40

⇥ⓘ Partimos de

-40

y avanzamos

40

en la recta numérica, hasta el cero:

- 40 + 40

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = -2

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(x^{3}

- 8 x^{2}

+ x

+ 42)

entre

(x + 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ x$ $+ 42$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 8 x^{2}$ $+ x$ $+ 42) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 10 x^{2} + x + 42$
$- 10 x^{2} + x + 42$	$- \frac{10 x^{2}}{x}$	$- 10 x$	$- 10 x \cdot (x + 2) = - 10 x^{2} - 20 x$	$(- 10 x^{2} + x + 42) - (- 10 x^{2} - 20 x) = 21 x + 42$
$21 x + 42$	$\frac{21 x}{x}$	$21$	$21 \cdot (x + 2) = 21 x + 42$	$(21 x + 42) - (21 x + 42) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} - 10 x + 21

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 10 x + 21)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -10

c = 21

⇥

Δ = {(-10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-10)}^{2}

(-10) \cdot (-10)

100

⇥

Δ = 100 - 4 \cdot 21

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 21

4 \cdot (20 + 1)

4 \cdot 20 + 4

80 + 4

84

⇥

Δ = 100 - 84

⇥ⓘ Partimos de

100

y retrocedemos

84

en la recta numérica:

100 - 84

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

x_{1} = \frac{10 - 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

10 - 4

6

⇥

x_{1} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{1} = 3

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

⇥

x_{2} = \frac{10 + 4}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

10 + 4

14

⇥

x_{2} = \frac{14}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{14}{2}

7

⇥

x_{2} = 7

▷El factor

(x^{2} - 10 x + 21)

se factoriza como:

(x - 3) \cdot (x - 7)

▶Expresión factorizada:

(x + 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 7)