factoriza x^3-x^2-8x+12 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{3}

- x^{2}

- 8 x

+ 12

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 2

⇥Calculemos el valor de:

2^{3}

- 2^{2}

- 8 \cdot 2

+ 12

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 2

16

⇥

8

- 4

- 16

+ 12

⇥ⓘ Partimos de

8

y retrocedemos

4

en la recta numérica:

8 - 4

4

⇥

4 - 16 + 12

⇥ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

16

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

4 - 16

-12

⇥

- 12 + 12

⇥ⓘ Partimos de

-12

y avanzamos

12

en la recta numérica, hasta el cero:

- 12 + 12

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 2

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{3}

- x^{2}

- 8 x

+ 12)

entre

(x - 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $- x^{2}$ $- 8 x$ $+ 12$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- x^{2}$ $- 8 x$ $+ 12) - (x^{3} - 2 x^{2}) = x^{2} - 8 x + 12$
$x^{2} - 8 x + 12$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 2) = x^{2} - 2 x$	$(x^{2} - 8 x + 12) - (x^{2} - 2 x) = - 6 x + 12$
$- 6 x + 12$	$- \frac{6 x}{x}$	$-6$	$-6 \cdot (x - 2) = - 6 x + 12$	$(- 6 x + 12) - (- 6 x + 12) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} + x - 6

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} + x - 6)

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 1

c = -6

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-6)

24

⇥

Δ = 1 + 24

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

24

en la recta numérica:

1 + 24

25

⇥

Δ = 25

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 - 5

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 + 5

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

▷El factor

(x^{2} + x - 6)

se factoriza como:

(x + 3) \cdot (x - 2)

▶Expresión factorizada:

(x + 3) \cdot {(x - 2)}^{2}