factoriza x^4+2x^3-5x^2-12x-4 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{4}

+ 2 x^{3}

- 5 x^{2}

- 12 x

- 4

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = -2

⇥Calculemos el valor de:

{(-2)}^{4}

+ 2 \cdot {(-2)}^{3}

- 5 \cdot {(-2)}^{2}

- 12 \cdot (-2)

- 4

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{4}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

16

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 12 \cdot (-2)

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

16

+ 2 \cdot (-8)

- 5 \cdot 4

+ 24

- 4

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-8)

-16

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

5 \cdot 4

20

⇥

16

- 16

- 20

+ 24

- 4

⇥ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

16

en la recta numérica, hasta el cero:

16 - 16

0

⇥

0

- 20

+ 24

- 4

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 20

-20

■Partimos de

-20

y avanzamos

24

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 20 + 24

4

⇥

4 - 4

⇥ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

4

en la recta numérica, hasta el cero:

4 - 4

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = -2

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{4}

+ 2 x^{3}

- 5 x^{2}

- 12 x

- 4)

entre

(x + 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{4}$ $+ 2 x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 12 x$ $- 4$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x + 2) = x^{4} + 2 x^{3}$	$(x^{4}$ $+ 2 x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 12 x$ $- 4) - (x^{4} + 2 x^{3}) = - 5 x^{2} - 12 x - 4$
$- 5 x^{2} - 12 x - 4$	$- \frac{5 x^{2}}{x}$	$- 5 x$	$- 5 x \cdot (x + 2) = - 5 x^{2} - 10 x$	$(- 5 x^{2} - 12 x - 4) - (- 5 x^{2} - 10 x) = - 2 x - 4$
$- 2 x - 4$	$- \frac{2 x}{x}$	$-2$	$-2 \cdot (x + 2) = - 2 x - 4$	$(- 2 x - 4) - (- 2 x - 4) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{3} - 5 x - 2

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{3} - 5 x - 2)

⇥⇥1.3.1) Probemos la solución evidente:

x = -2

⇥⇥Calculemos el valor de:

{(-2)}^{3} - 5 \cdot (-2) - 2

⇥⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 5 \cdot (-2)

10

⇥⇥

- 8 + 10 - 2

⇥⇥ⓘ Partimos de

-8

y avanzamos

10

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 8 + 10

2

⇥⇥

2 - 2

⇥⇥ⓘ Partimos de

2

y retrocedemos

2

en la recta numérica, hasta el cero:

2 - 2

0

⇥⇥

0

⇥⇥Raíz encontrada:

x = -2

⇥⇥1.3.2) Comencemos la división euclídea de

(x^{3} - 5 x - 2)

entre

(x + 2)

⇥⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3} - 5 x - 2$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$	$(x^{3} - 5 x - 2) - (x^{3} + 2 x^{2}) = - 2 x^{2} - 5 x - 2$
$- 2 x^{2} - 5 x - 2$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x + 2) = - 2 x^{2} - 4 x$	$(- 2 x^{2} - 5 x - 2) - (- 2 x^{2} - 4 x) = - x - 2$
$- x - 2$	$- \frac{x}{x}$	$-1$	$-1 \cdot (x + 2) = - x - 2$	$(- x - 2) - (- x - 2) = 0$

⇥⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} - 2 x - 1

⇥⇥1.3.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 2 x - 1)

⇥⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = -1

⇥⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

⇥⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-1)

⇥⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

⇥⇥

Δ = 4 + 4

⇥⇥ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

4

en la recta numérica:

4 + 4

8

⇥⇥

Δ = 8

⇥⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{8}}{2}

⇥⇥ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

8

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥⇥

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{2})}{2}

1 - \sqrt{2}

⇥⇥

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

⇥⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{8}}{2}

⇥⇥ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

8

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥⇥

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{2}

1 + \sqrt{2}

⇥⇥

x_{2} = 1 + \sqrt{2}

▷El factor

(x^{2} - 2 x - 1)

se factoriza como:

(x - (1 + \sqrt{2})) \cdot (x - (1 - \sqrt{2}))

⇥1.4) Sustituyamos cada factor por su factorización:

(x + 2) \cdot (x - (1 + \sqrt{2})) \cdot (x - (1 - \sqrt{2}))

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (1 + \sqrt{2})

- 1 - \sqrt{2}

- (1 - \sqrt{2})

- 1 + \sqrt{2}

⇥

(x + 2) \cdot (x - 1 - \sqrt{2}) \cdot (x - 1 + \sqrt{2})

▷El factor

(x^{3} - 5 x - 2)

se factoriza como:

(x + 2) \cdot (x + \sqrt{2} - 1) \cdot (x - \sqrt{2} - 1)

▶Expresión factorizada:

{(x + 2)}^{2} \cdot (x + \sqrt{2} - 1) \cdot (x - \sqrt{2} - 1)