factoriza x^4+7x^2-144 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{4} + 7 x^{2} - 144

⇥1.1) Definamos:

X = x^{2}

⇥Podemos transformar la expresión en:

X^{2} + 7 X - 144

⇥Dada la forma cuadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 7

c = -144

⇥

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-144)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

7^{2}

7 \cdot 7

49

⇥

Δ = 49 - 4 \cdot (-144)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-144)

4 \cdot 144

4 \cdot (100 + 40 + 4)

4 \cdot 100 + 4 \cdot 40 + 4 \cdot 4

400 + 160 + 16

576

⇥

Δ = 49 + 576

⇥ⓘ Partimos de

49

y avanzamos

576

en la recta numérica:

49 + 576

625

⇥

Δ = 625

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{625}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{625}

25

ya que

25^{2}

625

⇥

X_{1} = \frac{- 7 - 25}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 - 25

-32

⇥

X_{1} = - \frac{32}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{32}{2}

-16

⇥

X_{1} = -16

⇥La fórmula de segundo grado da

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{625}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{625}

25

ya que

25^{2}

625

⇥

X_{2} = \frac{- 7 + 25}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 + 25

18

⇥

X_{2} = \frac{18}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{18}{2}

9

⇥

X_{2} = 9

⇥Factores encontrados:

(X - 9) \cdot (X + 16)

⇥1.2) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 9) \cdot (x^{2} + 16)

⇥Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 9)

⇥Para

x^{2} - 9

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

x^{2} - 3^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x

b = 3

▷El factor

(x^{2} - 9)

se factoriza como:

(x + 3) \cdot (x - 3)

ⓘ Como un cuadrado nunca es negativo,

x^{2} + 16

no se anula ni se factoriza en ℝ

▶Expresión factorizada:

(x + 3) \cdot (x - 3) \cdot (x^{2} + 16)