factoriza x^4-14x^3+71x^2-154x+120

1) Factoricemos en

ℝ

x^{4}

- 14 x^{3}

+ 71 x^{2}

- 154 x

+ 120

⇥1.1) Probemos la solución evidente:

x = 2

⇥Calculemos el valor de:

2^{4}

- 14 \cdot 2^{3}

+ 71 \cdot 2^{2}

- 154 \cdot 2

+ 120

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{4}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

154 \cdot 2

(100 + 50 + 4) \cdot 2

100 \cdot 2 + 50 \cdot 2 + 4 \cdot 2

200 + 100 + 8

308

⇥

16

- 14 \cdot 8

+ 71 \cdot 4

- 308

+ 120

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

14 \cdot 8

(10 + 4) \cdot 8

10 \cdot 8 + 4 \cdot 8

80 + 32

112

71 \cdot 4

(70 + 1) \cdot 4

70 \cdot 4 + 4

280 + 4

284

⇥

16

- 112

+ 284

- 308

+ 120

⇥ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

112

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

16 - 112

-96

⇥

- 96

+ 284

- 308

+ 120

⇥ⓘ Partimos de

-96

y avanzamos

284

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 96 + 284

188

⇥

188 - 308 + 120

⇥ⓘ Partimos de

188

y retrocedemos

308

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

188 - 308

-120

⇥

- 120 + 120

⇥ⓘ Partimos de

-120

y avanzamos

120

en la recta numérica, hasta el cero:

- 120 + 120

0

⇥

0

⇥Raíz encontrada:

x = 2

⇥1.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{4}

- 14 x^{3}

+ 71 x^{2}

- 154 x

+ 120)

entre

(x - 2)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{4}$ $- 14 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x - 2) = x^{4} - 2 x^{3}$	$(x^{4}$ $- 14 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120) - (x^{4} - 2 x^{3}) = - 12 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120$
$- 12 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120$	$- \frac{12 x^{3}}{x}$	$- 12 x^{2}$	$- 12 x^{2} \cdot (x - 2) = - 12 x^{3} + 24 x^{2}$	$(- 12 x^{3}$ $+ 71 x^{2}$ $- 154 x$ $+ 120) - (- 12 x^{3} + 24 x^{2}) = 47 x^{2} - 154 x + 120$
$47 x^{2} - 154 x + 120$	$\frac{47 x^{2}}{x}$	$47 x$	$47 x \cdot (x - 2) = 47 x^{2} - 94 x$	$(47 x^{2} - 154 x + 120) - (47 x^{2} - 94 x) = - 60 x + 120$
$- 60 x + 120$	$- \frac{60 x}{x}$	$-60$	$-60 \cdot (x - 2) = - 60 x + 120$	$(- 60 x + 120) - (- 60 x + 120) = 0$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60

⇥1.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60)

⇥⇥1.3.1) Probemos la solución evidente:

x = 3

⇥⇥Calculemos el valor de:

3^{3}

- 12 \cdot 3^{2}

+ 47 \cdot 3

- 60

⇥⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

47 \cdot 3

(40 + 7) \cdot 3

40 \cdot 3 + 7 \cdot 3

120 + 21

141

⇥⇥

27

- 12 \cdot 9

+ 141

- 60

⇥⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 9

(10 + 2) \cdot 9

10 \cdot 9 + 2 \cdot 9

90 + 18

108

⇥⇥

27

- 108

+ 141

- 60

⇥⇥ⓘ Partimos de

27

y retrocedemos

108

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

27 - 108

-81

⇥⇥

- 81 + 141 - 60

⇥⇥ⓘ Partimos de

-81

y avanzamos

141

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 81 + 141

60

⇥⇥

60 - 60

⇥⇥ⓘ Partimos de

60

y retrocedemos

60

en la recta numérica, hasta el cero:

60 - 60

0

⇥⇥

0

⇥⇥Raíz encontrada:

x = 3

⇥⇥1.3.2) Calculemos el cociente y el resto de

(x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60)

entre

(x - 3)

⇥⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{3}$ $- 12 x^{2}$ $+ 47 x$ $- 60$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 12 x^{2}$ $+ 47 x$ $- 60) - (x^{3} - 3 x^{2}) = - 9 x^{2} + 47 x - 60$
$- 9 x^{2} + 47 x - 60$	$- \frac{9 x^{2}}{x}$	$- 9 x$	$- 9 x \cdot (x - 3) = - 9 x^{2} + 27 x$	$(- 9 x^{2} + 47 x - 60) - (- 9 x^{2} + 27 x) = 20 x - 60$
$20 x - 60$	$\frac{20 x}{x}$	$20$	$20 \cdot (x - 3) = 20 x - 60$	$(20 x - 60) - (20 x - 60) = 0$

⇥⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

x^{2} - 9 x + 20

⇥⇥1.3.3) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 9 x + 20)

⇥⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -9

c = 20

⇥⇥

Δ = {(-9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20

⇥⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-9)}^{2}

(-9) \cdot (-9)

81

⇥⇥

Δ = 81 - 4 \cdot 20

⇥⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 20

80

⇥⇥

Δ = 81 - 80

⇥⇥ⓘ Partimos de

81

y retrocedemos

80

en la recta numérica:

81 - 80

1

⇥⇥

Δ = 1

⇥⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{1} = \frac{9 - 1}{2}

⇥⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 - 1

8

⇥⇥

x_{1} = \frac{8}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{8}{2}

4

⇥⇥

x_{1} = 4

⇥⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥⇥

x_{2} = \frac{9 + 1}{2}

⇥⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 + 1

10

⇥⇥

x_{2} = \frac{10}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{10}{2}

5

⇥⇥

x_{2} = 5

⇥⇥Factores encontrados:

(x - 4) \cdot (x - 5)

▷El factor

(x^{3}

- 12 x^{2}

+ 47 x

- 60)

se factoriza como:

(x - 3) \cdot (x - 4) \cdot (x - 5)

▶Expresión factorizada:

(x - 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4) \cdot (x - 5)