factoriza x^4-8x^2+7 — solución paso a paso

1) Factoricemos en

ℝ

x^{4} - 8 x^{2} + 7

⇥1.1) Hagamos:

X = x^{2}

⇥Podemos reescribir la expresión como:

X^{2} - 8 X + 7

⇥Dada la forma cuadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -8

c = 7

⇥

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

⇥

Δ = 64 - 4 \cdot 7

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 7

28

⇥

Δ = 64 - 28

⇥ⓘ Partimos de

64

y retrocedemos

28

en la recta numérica:

64 - 28

36

⇥

Δ = 36

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{1} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{36}

6

ya que

6^{2}

36

⇥

X_{1} = \frac{8 - 6}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

8 - 6

2

⇥

X_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

⇥

X_{1} = 1

⇥La fórmula de segundo grado da

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1}

⇥

X_{2} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{36}

6

ya que

6^{2}

36

⇥

X_{2} = \frac{8 + 6}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

8 + 6

14

⇥

X_{2} = \frac{14}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{14}{2}

7

⇥

X_{2} = 7

⇥Factores encontrados:

(X - 1) \cdot (X - 7)

⇥1.2) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 1) \cdot (x^{2} - 7)

⇥⇥1.2.1) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 1)

⇥⇥Para

x^{2} - 1

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

x^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x

b = 1

▷El factor

(x^{2} - 1)

se factoriza como:

(x + 1) \cdot (x - 1)

⇥⇥1.2.2) Factoricemos en

ℝ

(x^{2} - 7)