inflexión de f(x)=7/(x-7) — solución paso a paso

⇥1) Busquemos el dominio de

\frac{7}{x - 7}

⇥ Para que la expresión

\frac{7}{x - 7}

esté definida, debe cumplirse:

x - 7 \neq 0

⇥ⓘ Sumamos

7

a ambos miembros

⇥Solución obtenida:

x \neq 7

Un punto de inflexión debe pertenecer a la curva: nos mantenemos en el dominio

x \neq 7

⇥Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{7}{x - 7}

7 \cdot {(x - 7)}^{-1}

⇥2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (7 \cdot {(x - 7)}^{-1})

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x - 7

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 \cdot {(x - 7)}^{-1})

7 \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-1})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥

7 \cdot (-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-2})

⇥ⓘ Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

7 \cdot (-1)

-7

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 7)

1 + 0

⇥

-7 \cdot (1 + 0) \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

-7 \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- 7 \cdot {(x - 7)}^{-2}

- \frac{7}{{(x - 7)}^{2}}

⇥

- \frac{7}{{(x - 7)}^{2}}

⇥Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

- \frac{7}{{(x - 7)}^{2}}

-7 \cdot {(x - 7)}^{-2}

⇥3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (-7 \cdot {(x - 7)}^{-2})

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x - 7

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 7 \cdot {(x - 7)}^{-2})

-7 \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{-2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-3}

⇥

-7 \cdot (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 7) \cdot {(x - 7)}^{-3})

⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-7 \cdot (-2)

14

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 7)

1 + 0

⇥

14 \cdot (1 + 0) \cdot {(x - 7)}^{-3}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

14 \cdot {(x - 7)}^{-3}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

14 \cdot {(x - 7)}^{-3}

\frac{14}{{(x - 7)}^{3}}

⇥

\frac{14}{{(x - 7)}^{3}}

La segunda derivada

\frac{14}{{(x - 7)}^{3}}

es nula en todas partes o nunca se anula en cada intervalo del dominio. El polo excluido no es un punto de inflexión

▶Puntos de inflexión:

\emptyset