inflexión-x^4+12x^3-12x+13 — solución paso a paso

1) Para

- x^{4}

+ 12 x^{3}

- 12 x

+ 13

en ℝ, busquemos dónde la segunda derivada se anula y cambia de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (- x^{4} + 12 x^{3} - 12 x + 13)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{4} + 12 x^{3} - 12 x + 13)

\frac{d}{d x} (- x^{4})

+ \frac{d}{d x} (12 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 12 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{4})

+ \frac{d}{d x} (12 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 12 x)

+ 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{4})

- 4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (12 x^{3})

12 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 12 x)

⇥

- 4 x^{3} + 12 \cdot 3 x^{2} - 12

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

⇥

- 4 x^{3} + 36 x^{2} - 12

⇥Extraemos

4

, el máximo común divisor de los coeficientes:

- 4 x^{3} + 36 x^{2} - 12

4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

⇥Factor encontrado:

- x^{3} + 9 x^{2} - 3

La primera derivada es

4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 \cdot (- x^{3} + 9 x^{2} - 3))

4 \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 9 x^{2} - 3)

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0)

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{3})

- 3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (9 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (9 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (9 x^{2})

9 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 \cdot (- 3 x^{2} + 9 \cdot 2 x)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

9 \cdot 2

18

⇥

4 \cdot (- 3 x^{2} + 18 x)

⇥

4 \cdot (18 x - 3 x^{2})

La segunda derivada es

4 \cdot (18 x - 3 x^{2})

⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

4 \cdot (18 x - 3 x^{2}) = 0

⇥Simplificamos la expresión por

4

⇥⇥Resolvamos en

ℝ

18 x - 3 x^{2} = 0

⇥⇥Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (18 - 3 x)

⇥⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥⇥1.3.1) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥⇥1.3.2) Resolvamos en

ℝ

18 - 3 x = 0

⇥⇥⇥

3 x = 18

⇥⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

⇥⇥⇥

x = \frac{18}{3}

⇥⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

\frac{18}{3}

6

⇥⇥⇥Solución encontrada:

x = 6

⇥1.4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

4 \cdot \frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (18 x)

18

\frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

-3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

4 \cdot (18 - 3 \cdot 2 x)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 2

6

⇥

4 \cdot (18 - 6 x)

⇥Factoricemos en

ℝ

(18 - 6 x)

⇥Extraemos

6

, el máximo común divisor de los coeficientes:

18 - 6 x

6 \cdot (3 - x)

⇥Factor encontrado:

3 - x

⇥

4 \cdot 6 \cdot (3 - x)

⇥ⅰ

4 \cdot 6

24

⇥

24 \cdot (3 - x)

x = 0

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

0

, la segunda derivada es negativa a la izquierda y positiva a la derecha: la curva pasa de cóncava a convexa

⇥

- 0^{4}

+ 12 \cdot 0^{3}

- 12 \cdot 0

+ 13

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

12 \cdot 0

0

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 13

13

⇥

0 + 0 + 13

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0 + 13

13

⇥

13

La ordenada es f(

0

) =

13

⇥1.5) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 \cdot (18 x - 3 x^{2}))

4 \cdot \frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (18 x - 3 x^{2})

\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

⇥

4 \cdot (\frac{d}{d x} (18 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (18 x)

18

\frac{d}{d x} (- 3 x^{2})

-3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

4 \cdot (18 - 3 \cdot 2 x)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 2

6

⇥

4 \cdot (18 - 6 x)

⇥Factoricemos en

ℝ

(18 - 6 x)

⇥Extraemos

6

, el máximo común divisor de los coeficientes:

18 - 6 x

6 \cdot (3 - x)

⇥Factor encontrado:

3 - x

⇥

4 \cdot 6 \cdot (3 - x)

⇥ⅰ

4 \cdot 6

24

⇥

24 \cdot (3 - x)

x = 6

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

6

, la segunda derivada es positiva a la izquierda y negativa a la derecha: la curva pasa de convexa a cóncava

⇥

- 6^{4}

+ 12 \cdot 6^{3}

- 12 \cdot 6

+ 13

⇥ⓘ Sin paréntesis, el signo menos no forma parte de la potencia■Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

- 6^{4}

- (6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6)

-1296

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

6^{3}

6 \cdot 6 \cdot 6

216

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 6

(10 + 2) \cdot 6

10 \cdot 6 + 2 \cdot 6

60 + 12

72

⇥

- 1296

+ 12 \cdot 216

- 72

+ 13

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 216

(10 + 2) \cdot 216

10 \cdot 216 + 2 \cdot 216

2160 + 432

2592

⇥

- 1296

+ 2592

- 72

+ 13

⇥ⓘ Partimos de

-1296

y avanzamos

2592

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 1296 + 2592

1296

⇥

1296 - 72 + 13

⇥ⓘ Partimos de

1296

y retrocedemos

72

en la recta numérica:

1296 - 72

1224

⇥

1224 + 13

⇥ⓘ Partimos de

1224

y avanzamos

13

en la recta numérica:

1224 + 13

1237

⇥

1237

La ordenada es f(

6

) =

1237

▶Puntos de inflexión:

{(0; 13); (6; 1237)}

🖼/draw?f1=-x%5E4+%2B+12*x%5E3+-+12*x+%2B+13&v=x&b=-3.0&e=9.0&min=-600.8&max=2336.8&points=0%2C13%3B6%2C1237