integra sqrt(2x) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int \sqrt{2 x} d x

⇥Para

\sqrt{2 x}

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

\sqrt{2 x}

y v2' =

1

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

con f =

2 x

⇥ⓘ La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x)}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥Por tanto,

u1'

vale

\frac{1}{\sqrt{2 x}}

⇥1.2) Integremos v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ La derivada de

x

1

, por lo que

x

es una primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Evaluemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{\sqrt{2 x}}

\frac{x}{\sqrt{2 x}}

⇥

\frac{x}{\sqrt{2 x}}

⇥ⓘ La raíz de un producto es el producto de las raíces,

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

\sqrt{2 x}

\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}

⇥

\frac{x}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}

⇥Simplificamos la fracción

\frac{x}{\sqrt{x}}

por el factor común

\sqrt{x}

para obtener la nueva expresión:

x^{1 - \frac{1}{2}}

⇥

\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\sqrt{2}}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

1 - \frac{1}{2}

\frac{2 - 1}{2}

⇥

\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\sqrt{2}}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

2 - 1

1

⇥

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}

⇥Por convenio, preferimos las raíces cuadradas numéricas en el numerador en lugar del denominador:

⇥ⅰ

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

⇥

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

⇥1.4) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\sqrt{2 x} \cdot x - \int \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2} d x

⇥Para

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2}

, aplicamos la fórmula de integración:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{2} d x

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot \frac{3}{2}}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot \frac{3}{2}}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 3}{2}

\frac{6}{2}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{6}{2}}

⇥ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

- \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{\frac{6}{2}}

- \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{6}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{3}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{3}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{3}

\frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int \sqrt{2 x} d x

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

\sqrt{2 x} \cdot x - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

x \cdot \sqrt{2 x} - \frac{\sqrt{2} \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + C