integra x*e^x — solución paso a paso

Calculemos la integral:

\int x e^{x} d x

⇥Para

x e^{x}

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

x

y v2' =

e^{x}

⇥Por tanto,

u1'

vale

1

⇥Integremos v2':

\int e^{x} d x

⇥ⓘ La derivada de

e^{x}

e^{x}

, por lo que

e^{x}

es una primitiva de

e^{x}

\int e^{x} d x

e^{x}

⇥

e^{x}

⇥Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x e^{x} - \int e^{x} d x

⇥ⓘ La derivada de

- e^{x}

- e^{x}

, por lo que

- e^{x}

es una primitiva de

- e^{x}

- \int e^{x} d x

- e^{x}

⇥

x e^{x} - e^{x}

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int x e^{x} d x

x e^{x} - e^{x}

x e^{x} - e^{x}

Podemos factorizar la expresión como:

e^{x} \cdot (x - 1)

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

e^{x} \cdot (x - 1) + C