integral de 1/(1-x^2) entre -1/4 y 1/4

1) Integremos:

\int_{- \frac{1}{4}}^{\frac{1}{4}} \frac{1}{1 - x^{2}} d x

2) Factoricemos en

ℝ

1 - x^{2}

Para

1 - x^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

1^{2} - x^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = 1

b = x

Factores encontrados:

(1 - x) \cdot (x + 1)

3) Podemos descomponer en fracciones simples:

\frac{1}{(1 - x) \cdot (x + 1)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{x + 1}

Para el factor simple

1 - x

y su raíz

1

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

1 - x^{2}

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

4) Resolvamos en

ℝ

(1 + 1) \cdot A = 1

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 1

2

2 A = 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

Solución encontrada:

A = \frac{1}{2}

Para el factor simple

x + 1

y su raíz

-1

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

1 - x^{2}

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

5) Resolvamos en

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 1

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 + 1

2

2 B = 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

Solución obtenida:

B = \frac{1}{2}

6) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

\frac{1}{(1 - x) \cdot (x + 1)} = \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

7) Calculemos la integral:

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}) d x

ⅰ

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}) d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x + \int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x + \int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

Hacemos

u = 2 - 2 x

. Entonces

du = - 2 dx

, por lo que

dx = - \frac{du}{2}

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

2 - 2 x \neq 0

Sustituimos

u

por

2 - 2 x

en la primitiva

Hacemos

u = 2 x + 2

. Entonces

du = 2 dx

, por lo que

dx = \frac{du}{2}

\int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

2 x + 2 \neq 0

Sustituimos

u

por

2 x + 2

en la primitiva

ⓘ La derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

\frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

, por lo que

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

es una primitiva de

\frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

\int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 2 - 2 x | + \frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 - 2 x |

\frac{1 \cdot \ln | 2 - 2 x |}{2}

\frac{\ln | 2 - 2 x |}{2}

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

\frac{1 \cdot \ln | 2 x + 2 |}{2}

\frac{\ln | 2 x + 2 |}{2}

■Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

- \frac{\ln | 2 - 2 x |}{2} + \frac{\ln | 2 x + 2 |}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

ⅰ

\int \frac{1}{1 - x^{2}} d x

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

▷

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

8) Evaluemos en el intervalo

[- \frac{1}{4}; \frac{1}{4}]

\ln (\frac{\sqrt{| 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 \cdot \frac{1}{4} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| 2 \cdot (- \frac{1}{4}) + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 \cdot (- \frac{1}{4}) |}})

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{1}{4}

\frac{2 \cdot 1}{4}

\frac{2}{4}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

■Colocamos el signo menos delante del producto:

2 \cdot (- \frac{1}{4})

- 2 \cdot \frac{1}{4}

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 2 \cdot (- \frac{1}{4})

2 \cdot \frac{1}{4}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1}{2} + 2 |}}{\sqrt{| 2 - \frac{1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 |}}{\sqrt{| 2 + 2 \cdot \frac{1}{4} |}})

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + 2

\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}

2 - \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}

■Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{1}{4}

\frac{2 \cdot 1}{4}

\frac{2}{4}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1 + 2 \cdot 2}{2} |}}{\sqrt{| \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| - \frac{1}{2} + 2 |}}{\sqrt{| 2 + \frac{1}{2} |}})

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{1}{2} + 2

\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

2 + \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1 + 4}{2} |}}{\sqrt{| \frac{4 - 1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2} |}}{\sqrt{| \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} |}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 4

5

4 - 1

3

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 2

4

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{- 1 + 4}{2} |}}{\sqrt{| \frac{4 + 1}{2} |}})

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 + 4

3

4 + 1

5

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}})

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}})

\ln (\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}})

\ln (\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}})

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}}

\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}} \cdot \frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}} \cdot \frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}

{(\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}})}^{2}

\ln ({(\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}})}^{2})

ⓘ La expresión dentro del valor absoluto es positiva o nula, por lo que su valor absoluto es igual a esa expresión:

| \frac{5}{2} |

\frac{5}{2}

| \frac{3}{2} |

\frac{3}{2}

\ln ({(\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}})}^{2})

ⓘ La raíz de un cociente es el cociente de las raíces,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\frac{5}{2}}

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}

\sqrt{\frac{3}{2}}

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

■La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}})}^{2}

\frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}}

\ln (\frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}})

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}

\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}

{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}

\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}

\ln (\frac{\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}{\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}})

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

\frac{\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}{\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}

\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} \cdot \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{{(\sqrt{3})}^{2}}

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{5})}^{2}

5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

{(\sqrt{2})}^{2}

2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

{(\sqrt{3})}^{2}

3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\ln (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}

\frac{5^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

2^{\frac{2}{2}}

\frac{5^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}

\ln (\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}})

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

\ln (\frac{5^{1}}{3^{1}})

▶Integral:

\ln (\frac{5}{3})

9) El valor numérico de:

\ln (\frac{5}{3})

es:

\ln (\approx 1,6667)

▷

\approx 0,5108