integral de 1/(12sqrt(x)+12x) — solución paso a paso

1) Antes de integrar, calculemos:

\frac{1}{12 \sqrt{x} + 12 x}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{1}{12 \sqrt{x} + 12 x}

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

2) Integremos:

\int \frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})} d x

Para la expresión matemática

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

, sabiendo que (ln(a))' = a'/a, intentamos derivar

\ln (1 + \sqrt{x})

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (1 + \sqrt{x}))

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

1 + \sqrt{x}

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (1 + \sqrt{x}))

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot 1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x})

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Dividir una fracción por

1 + \sqrt{x}

equivale a multiplicar su denominador por

1 + \sqrt{x}

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

, por lo que

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

es una primitiva de

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\int \frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})} d x

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1 \cdot \ln (1 + \sqrt{x})}{6}

\frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{6}

\frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{6}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{\ln (\sqrt{x} + 1)}{6} + C