integral de 1/(2-t)+1/(2+t) — solución paso a paso

Calculemos la integral:

\int (\frac{1}{2 - t} + \frac{1}{2 + t}) d t

ⅰ

\int (\frac{1}{2 - t} + \frac{1}{2 + t}) d t

\int \frac{1}{2 - t} d t + \int \frac{1}{2 + t} d t

\int \frac{1}{2 - t} d t + \int \frac{1}{2 + t} d t

Hacemos

u = 2 - t

. Entonces

du = - dt

, por lo que

dt = - du

\int \frac{1}{2 - t} d t = -1 \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

2 - t \neq 0

Sustituimos

u

por

2 - t

en la primitiva

Hacemos

u = 2 + t

. Entonces

du = dt

, por lo que

dt = du

\int \frac{1}{2 + t} d t = \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

2 + t \neq 0

Sustituimos

u

por

2 + t

en la primitiva

ⓘ La derivada de

\ln | 2 + t |

\frac{1}{2 + t}

, por lo que

\ln | 2 + t |

es una primitiva de

\frac{1}{2 + t}

\int \frac{1}{2 + t} d t

\ln | 2 + t |

- 1 \cdot \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

ⓘ Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot \ln | 2 - t |

\ln | 2 - t |

- \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

- \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

\ln (\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |})

\ln (\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |})

ⓘ El cociente de los valores absolutos es el valor absoluto del cociente:

\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |}

| \frac{2 + t}{2 - t} |

\ln | \frac{2 + t}{2 - t} |

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\ln | \frac{t + 2}{2 - t} | + C