integral de 1/(2-x^2) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int \frac{1}{2 - x^{2}} d x

2) Factoricemos en

ℝ

2 - x^{2}

Para

2 - x^{2}

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

{(\sqrt{2})}^{2} - x^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = \sqrt{2}

b = x

Factores encontrados:

(\sqrt{2} - x) \cdot (x + \sqrt{2})

3) Podemos descomponer en fracciones simples:

\frac{1}{(\sqrt{2} - x) \cdot (x + \sqrt{2})} = \frac{A}{\sqrt{2} - x} + \frac{B}{x + \sqrt{2}}

Para el factor simple

\sqrt{2} - x

y su raíz

\sqrt{2}

, calculamos la incógnita A multiplicando por el denominador

2 - x^{2}

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

4) Resolvamos en

ℝ

(\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot A = 1

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2} \cdot A = 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2 \cdot \sqrt{2}

A = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Por convenio, preferimos las raíces cuadradas numéricas en el numerador en lugar del denominador:

ⅰ

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

A = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

ⅰ

2 \cdot 2

4

Solución obtenida:

A = \frac{\sqrt{2}}{4}

Para el factor simple

x + \sqrt{2}

y su raíz

- \sqrt{2}

, calculamos la incógnita B multiplicando por el denominador

2 - x^{2}

y evaluando en la raíz, ya que los demás términos se anulan:

5) Resolvamos en

ℝ

(\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot B = 1

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2} \cdot B = 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2 \cdot \sqrt{2}

B = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Por convenio, preferimos las raíces cuadradas numéricas en el numerador en lugar del denominador:

ⅰ

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

B = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

ⅰ

2 \cdot 2

4

Solución obtenida:

B = \frac{\sqrt{2}}{4}

6) Finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas en la descomposición racional inicial:

\frac{1}{(\sqrt{2} - x) \cdot (x + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} + \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}

7) Integremos:

\int (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} + \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}) d x

ⅰ

\int (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} + \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}) d x

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} d x + \int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} d x + \int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x

Hacemos

u = 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x

. Entonces

du = - 4 dx

, por lo que

dx = - \frac{du}{4}

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} d x = - \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

4 \cdot \sqrt{2} - 4 x \neq 0

Sustituimos

u

por

4 \cdot \sqrt{2} - 4 x

en la primitiva

Hacemos

u = 4 x + 4 \cdot \sqrt{2}

. Entonces

du = 4 dx

, por lo que

dx = \frac{du}{4}

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. El valor absoluto permite tratar ambos signos del denominador, en todo intervalo donde

4 x + 4 \cdot \sqrt{2} \neq 0

Sustituimos

u

por

4 x + 4 \cdot \sqrt{2}

en la primitiva

ⓘ La derivada de

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}

, por lo que

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

es una primitiva de

\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

- \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |}{4}

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

\frac{- \sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

\frac{- \sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{- \sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

\frac{\sqrt{2} \cdot (- \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |)}{4}

\frac{\sqrt{2} \cdot (- \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |)}{4}

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

- \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

\ln (\frac{| 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{| 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |})

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln (\frac{| 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{| 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |})}{4}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{| 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{| 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |}

\frac{| x + \sqrt{2} |}{| \sqrt{2} - x |}

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln (\frac{| x + \sqrt{2} |}{| \sqrt{2} - x |})}{4}

ⓘ El cociente de los valores absolutos es el valor absoluto del cociente:

\frac{| x + \sqrt{2} |}{| \sqrt{2} - x |}

| \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} |

ⅰ

\int \frac{1}{2 - x^{2}} d x

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} |}{4}

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} |}{4}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{\ln | \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} | \cdot \sqrt{2}}{4} + C