integral de 1/((arcsin(x))^3sqrt(1-x^2))

1) Integremos:

\int \frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}} d x

Para la expresión matemática

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{\arcsin (x)}^{- 3 + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{- 3 + 1})

ⓘ El exponente se calcula antes que la potencia:

- 3 + 1

-2

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{-2})

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

\arcsin (x)

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{-2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x))}{{\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x))}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ La derivada de

\arcsin (x)

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arcsin (x))

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ Dividir una fracción por

{\arcsin (x)}^{3}

equivale a multiplicar su denominador por

{\arcsin (x)}^{3}

- \frac{\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot {\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot {\arcsin (x)}^{3}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

, por lo que

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

es una primitiva de

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\int \frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}} + C