integral de 1/(sqrt(2x))cos(sqrt(2x))

⚠ 1/(sqrt(2x))cos(sqrt(2x)) se interpreta como 1/(sqrt(2x))*cos(sqrt(2x)): utiliza (...)*(...) para una multiplicación, utiliza (...)^(...) para una potencia

1) Antes de integrar, calculemos:

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

\frac{1 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

2) Calculemos la integral:

\int \frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}} d x

Para la expresión matemática

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (\sqrt{2 x})

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (\sqrt{2 x}))

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

\sqrt{2 x}

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (\sqrt{2 x}))

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x}) \cdot \cos (\sqrt{2 x})

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x}) \cdot \cos (\sqrt{2 x})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

con f =

2 x

ⓘ La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot 1 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

\frac{2 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

\sin (\sqrt{2 x})

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

, por lo que

\sin (\sqrt{2 x})

es una primitiva de

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\int \frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}} d x

\sin (\sqrt{2 x})

\sin (\sqrt{2 x})

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\sin (\sqrt{2 x}) + C