integral de 12x^2ln(x) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int 12 x^{2} \cdot \ln (x) d x

⇥Sacamos el factor constante

12

de la integral. Para

12 x^{2} \cdot \ln (x)

, utilizamos la integración por partes:

\int 12 \cdot u1 \cdot v2' d x = 12 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

con u1 =

\ln (x)

y v2' =

x^{2}

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.2) Integremos v2':

\int x^{2} d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Calculemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{2}}{3}

⇥

\frac{x^{2}}{3}

⇥1.4) Calculemos

12 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

12 \cdot (\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int \frac{x^{2}}{3} d x

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

12 \cdot (\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3})

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{3 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{9}

⇥

12 \cdot (\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥

12 \cdot (\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9})

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

12 \cdot \frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{12 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{9}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{12 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{9}

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

⇥

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

⇥ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

⇥

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

Finalmente terminamos la integración:

ⅰ

\int 12 x^{2} \cdot \ln (x) d x

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)

12 x^{3} \cdot \ln (x) + 4 \cdot (- x^{3})

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) + 4 \cdot (- x^{3})}{3}

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

4 \cdot (- x^{3})

- 4 x^{3}

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) - 4 x^{3}}{3}

ⓘ Una fracción cuyo numerador es una suma se separa término a término:

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

, para

c \neq 0

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) - 4 x^{3}}{3}

4 \cdot x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

Extraemos

4

, el máximo común divisor de los coeficientes:

4 x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot (x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3})

Factor encontrado:

x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

4 \cdot (x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3}) + C