integral de 2/3 x^{3/2}-9sin(x) — solución paso a paso

⚠ 2/3 x^{3/2}-9sin(x) se interpreta como (2/3)*x^(3/2)-9*sin(x): utiliza (2/3)*x^{3/2} para multiplicar por el siguiente factor, utiliza 2/(3*x^{3/2}) para incluirlo en el denominador, utiliza ^(...) para agrupar un exponente, utiliza * para multiplicar

1) Antes de integrar, calculemos:

\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} - 9 \cdot \sin (x)

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x)

2) Calculemos la integral:

\int (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x)) d x

Para la expresión matemática

- 9 \cdot \sin (x)

, sabiendo que (cos(a))' = -a'*sin(a), intentamos derivar

\cos (x)

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ La derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

\int (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x)) d x

9 \cdot \cos (x) + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x

9 \cdot \cos (x) + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x

Para

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

, utilizamos la fórmula de integración:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x

\frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}

ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}

\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot \frac{5}{2}}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot \frac{5}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

3 \cdot \frac{5}{2}

\frac{3 \cdot 5}{2}

\frac{15}{2}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{\frac{15}{2}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{\frac{15}{2}}

2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{15}

9 \cdot \cos (x) + 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{15}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot \frac{2}{15}

\frac{4}{15}

9 \cdot \cos (x) + \frac{4}{15} \cdot x^{\frac{5}{2}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{4}{15} \cdot x^{\frac{5}{2}}

\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15}

9 \cdot \cos (x) + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + 9 \cdot \cos (x) + C