integral de 2cos^2(x) — solución paso a paso

1) Calculemos la integral:

\int 2 \cdot {\cos (x)}^{2} d x

Reducimos el cuadrado con la identidad

{\cos (x)}^{2} = \frac{1 + \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int 2 \cdot {\cos (x)}^{2} d x

\int (1 + \cos (2 x)) d x

\int (1 + \cos (2 x)) d x

Para la expresión matemática

\cos (2 x)

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (2 x)

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

con f =

2 x

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

\int (1 + \cos (2 x)) d x

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{2}

\frac{\sin (2 x)}{2}

■La derivada de

x

1

, por lo que

x

es una primitiva de

1

\int 1 d x

x

\frac{\sin (2 x)}{2} + x

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C