integral de 5e^x-cos(x)+3x^2-1/x

1) Calculemos la integral:

\int (5 e^{x} - \cos (x) + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

Para la expresión matemática

- \cos (x)

, sabiendo que (sin(a))' = a'*cos(a), intentamos derivar

\sin (x)

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sin (x))

ⓘ La derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

\cos (x)

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

\int (5 e^{x} - \cos (x) + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + \int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + \int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

Para la expresión matemática

5 e^{x}

, sabiendo que (exp(a))' = a'*exp(a), intentamos derivar

\exp (x)

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\exp (x))

ⓘ La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (x))

\exp (x)

\exp (x)

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⅰ

\int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

5 e^{x} + \int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + (5 e^{x} + \int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x)

ⅰ

\int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

\int 3 x^{2} d x - \int \frac{1}{x} d x

- \sin (x) + 5 e^{x} + (\int 3 x^{2} d x - \int \frac{1}{x} d x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int 3 x^{2} d x

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

■La derivada de

- \ln | x |

- \frac{1}{x}

, por lo que

- \ln | x |

es una primitiva de

- \frac{1}{x}

- \int \frac{1}{x} d x

- \ln | x |

- \sin (x)

+ 5 e^{x}

+ 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

- \ln | x |

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{3 x^{3}}{3}

x^{3}

- \sin (x)

+ 5 e^{x}

+ x^{3}

- \ln | x |

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

5 e^{x}

+ x^{3}

- \ln | x |

- \sin (x)

+ C