integral de 7arccos(x) — solución paso a paso

1) Integremos:

\int 7 \cdot \arccos (x) d x

⇥Sacamos el factor constante

7

de la integral. Para

7 \cdot \arccos (x)

, utilizamos la integración por partes:

\int 7 \cdot u1 \cdot v2' d x = 7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

con u1 =

\arccos (x)

y v2' =

1

⇥1.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\arccos (x))

⇥ⓘ La derivada de

\arccos (x)

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arccos (x))

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥1.2) Integremos v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ La derivada de

x

1

, por lo que

x

es una primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Calculemos

u1' \cdot v2

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x

- \frac{1 \cdot x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥1.4) Calculemos

7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

7 \cdot (\arccos (x) \cdot x - \int (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x)

⇥Para la expresión matemática

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + 1}

⇥1.5) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + 1})

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{1}{2} + 1

\frac{- 1 + 2}{2}

⇥

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 + 2}{2}})

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 + 2

1

⇥

\frac{d}{d x} (\sqrt{1 - x^{2}})

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

con f =

1 - x^{2}

⇥ⓘ La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{1 - x^{2}})

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

⇥

\frac{0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

\frac{d}{d x} (- x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

⇥

- \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

- \sqrt{1 - x^{2}}

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

, por lo que

- \sqrt{1 - x^{2}}

es una primitiva de

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \int (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x

- \sqrt{1 - x^{2}}

⇥

7 \cdot \arccos (x) \cdot x + 7 \cdot (- \sqrt{1 - x^{2}})

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

7 \cdot (- \sqrt{1 - x^{2}})

- 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

⇥

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

Después continuamos la integración:

ⅰ

\int 7 \cdot \arccos (x) d x

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

Extraemos

7

, el máximo común divisor de los coeficientes:

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

7 \cdot (\arccos (x) \cdot x - \sqrt{1 - x^{2}})

Factor encontrado:

x \cdot \arccos (x) - \sqrt{1 - x^{2}}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

7 \cdot (x \cdot \arccos (x) - \sqrt{1 - x^{2}}) + C