integral de 8/(4*t^2+1)^2 — solución paso a paso

Calculemos la integral:

\int \frac{8}{{(4 t^{2} + 1)}^{2}} d t

El denominador

4 t^{2} + 1

es estrictamente positivo en ℝ. Hacemos

u = 2 t

, por lo que

du = 2 dt

La integral pasa a ser

4

veces

\int \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}} d u

La regla del cociente y la derivada de atan dan

{(\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u))}^{'}

2 \cdot \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

: una primitiva de

\frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

\frac{\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u)}{2}

Multiplicamos esta primitiva por

4

y luego sustituimos

u

2 \cdot (\frac{2 t}{1 + {(2 t)}^{2}} + \arctan (2 t))

ⓘ La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(2 t)}^{2}

2^{2} \cdot t^{2}

■Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 \cdot (\frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + \arctan (2 t))

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 4 t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{2 \cdot 2 \cdot t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{4 t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{4 t}{1 + 4 t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{4 t}{4 t^{2} + 1} + 2 \cdot \arctan (2 t) + C