integral de (10)/((25x^2+1)^2) — solución paso a paso

Calculemos la integral:

\int \frac{10}{{(25 x^{2} + 1)}^{2}} d x

El denominador

25 x^{2} + 1

es estrictamente positivo en ℝ. Hacemos

u = 5 x

, por lo que

du = 5 dx

La integral pasa a ser

2

veces

\int \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}} d u

La regla del cociente y la derivada de atan dan

{(\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u))}^{'}

2 \cdot \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

: una primitiva de

\frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

\frac{\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u)}{2}

Multiplicamos esta primitiva por

2

y luego sustituimos

u

\frac{5 x}{1 + {(5 x)}^{2}} + \arctan (5 x)

ⓘ La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(5 x)}^{2}

5^{2} \cdot x^{2}

\frac{5 x}{1 + 5^{2} \cdot x^{2}} + \arctan (5 x)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x)

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{5 x}{25 x^{2} + 1} + \arctan (5 x) + C