integral de (3-2x)^3 — solución paso a paso

1) Integremos:

\int {(3 - 2 x)}^{3} d x

Para la expresión matemática

{(3 - 2 x)}^{3}

, sabiendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), intentamos derivar

{(3 - 2 x)}^{3 + 1}

2) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(3 - 2 x)}^{3 + 1})

ⓘ El exponente se calcula antes que la potencia:

3 + 1

4

\frac{d}{d x} ({(3 - 2 x)}^{4})

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

3 - 2 x

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(3 - 2 x)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (3 - 2 x) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (3 - 2 x) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 - 2 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

4 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

\frac{d}{d x} (- 2 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x)

-2

4 \cdot (-2) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

ⓘ Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

4 \cdot (-2)

-8

-8 \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

{(3 - 2 x)}^{3}

, por lo que

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

es una primitiva de

{(3 - 2 x)}^{3}

\int {(3 - 2 x)}^{3} d x

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

- \frac{1 \cdot {(3 - 2 x)}^{4}}{8}

- \frac{{(3 - 2 x)}^{4}}{8}

- \frac{{(3 - 2 x)}^{4}}{8}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

- \frac{{(3 - 2 x)}^{4}}{8} + C