integral de (3p^2-2)^2e^{-4p} — solución paso a paso | Explain MAths

integral de (3p^2-2)^2e^{-4p}

⚠ (3p^2-2)^2e^{-4p} se interpreta como (3p^2-2)^2e^(-4p): utiliza ^(...) para agrupar un exponente, utiliza * para multiplicar

1) Antes de integrar, calculemos:

{(3 p^{2} - 2)}^{2} \cdot e^{-4 p}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

{(3 p^{2} - 2)}^{2} \cdot e^{- 4 p}

=

\frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}}

\frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}}

2) Integremos:

\int \frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}} d p

3) Desarrollemos:

{(3 p^{2} - 2)}^{2}

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(3 p^{2} - 2)}^{2}

=

(3 p^{2} - 2) \cdot (3 p^{2} - 2)

(3 p^{2} - 2) \cdot (3 p^{2} - 2)

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(3 p^{2} - 2) \cdot (3 p^{2} - 2)

=

3 \cdot p^{2} \cdot 3 \cdot p^{2}

+ 3 p^{2} \cdot (-2)

- 2 \cdot 3 p^{2}

- 2 \cdot (-2)

3 \cdot p^{2} \cdot 3 \cdot p^{2}

+ 3 p^{2} \cdot (-2)

- 2 \cdot 3 p^{2}

- 2 \cdot (-2)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 3

=

9

,

2 \cdot 3

=

6

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

p^{2} \cdot p^{2}

=

p^{4}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-2)

=

-6

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-2 \cdot (-2)

=

4

9 p^{4}

- 6 p^{2}

- 6 p^{2}

+ 4

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 6 p^{2} - 6 p^{2}

=

-12 p^{2}

9 p^{4} - 12 p^{2} + 4

Una primitiva de

e^{- 4 p}

es

- \frac{1}{4 e^{4 p}}

. Repetimos la fórmula

\int (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) \cdot e^{- 4 p} d p = (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 p}}) - \int (36 p^{3} - 24 p) \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 p}}) d p

4) Integramos por partes, derivando el polinomio e integrando la exponencial. Cada derivación reduce el grado del polinomio hasta obtener una constante

Tras derivar 0 veces, el polinomio es

9 p^{4} - 12 p^{2} + 4

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{9 p^{4} - 12 p^{2} + 4}{4})

Tras derivar 1 vez, el polinomio es

36 p^{3} - 24 p

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{36 p^{3} - 24 p}{16})

Tras derivar 2 veces, el polinomio es

108 p^{2} - 24

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{108 p^{2} - 24}{64})

Tras derivar 3 veces, el polinomio es

216 p

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{216 p}{256})

Tras derivar 4 veces, el polinomio es

216

, por lo que su contribución a la primitiva es

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{216}{1024})

5) La siguiente derivada es nula: sumamos las contribuciones con el mismo denominador, dejando aparte la exponencial:

- \frac{9 p^{4} - 12 p^{2} + 4}{4}

- \frac{36 p^{3} - 24 p}{16}

- \frac{108 p^{2} - 24}{64}

- \frac{216 p}{256}

- \frac{216}{1024}

=

\frac{- 256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) - 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p) - 16 \cdot (108 p^{2} - 24) - 4 \cdot 216 p - 216}{1024}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 216

=

4 \cdot (200 + 10 + 6)

=

4 \cdot 200 + 4 \cdot 10 + 4 \cdot 6

=

800 + 40 + 24

=

864

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

- 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

- 16 \cdot (108 p^{2} - 24)

- 864 p

- 216

=

- (256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

+ 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

+ 16 \cdot (108 p^{2} - 24)

+ 864 p

+ 216)

- 256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

+ 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

+ 16 \cdot (108 p^{2} - 24)

+ 864 p

+ 2161024

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) + 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p) + 16 \cdot (108 p^{2} - 24) + 864 p + 216}{1024}

=

- \frac{32 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) + 8 \cdot (36 p^{3} - 24 p) + 2 \cdot (108 p^{2} - 24) + 108 p + 27}{128}

- \frac{32 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) + 8 \cdot (36 p^{3} - 24 p) + 2 \cdot (108 p^{2} - 24) + 108 p + 27}{128}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

32 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

=

288 p^{4} - 384 p^{2} + 128

,

8 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

=

288 p^{3} - 192 p

,

2 \cdot (108 p^{2} - 24)

=

216 p^{2} - 48

- \frac{288 p^{4} - 384 p^{2} + 128 + 288 p^{3} - 192 p + 216 p^{2} - 48 + 108 p + 27}{128}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

128 - 48

=

80

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 384 p^{2} + 216 p^{2}

=

-168 p^{2}

,

- 192 p + 108 p

=

-84 p

- \frac{288 p^{4} - 168 p^{2} + 80 + 288 p^{3} - 84 p + 27}{128}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

80 + 27

=

107

- \frac{288 p^{4} - 168 p^{2} + 107 + 288 p^{3} - 84 p}{128}

6) Reintroducimos el factor exponencial:

e^{- 4 p} \cdot \frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

e^{- 4 p} \cdot \frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128}

=

\frac{e^{- 4 p} \cdot (- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p)}{128}

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\frac{e^{- 4 p} \cdot (- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p)}{128}

=

\frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128 e^{4 p}}

ⅰ

\int \frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}} d p

=

\frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128 e^{4 p}}

\frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128 e^{4 p}}

▶Las integrales indefinidas se determinan salvo una constante aditiva C, lo que da:

\frac{- 288 p^{4} - 288 p^{3} + 168 p^{2} + 84 p - 107}{128 e^{4 p}} + C